算法引论及简单算法730708126.ppt

1、0,注 意,算法是程序设计的灵魂,1,与数据结构的区别： 考虑问题的角度：数据结构关心不同的数据结构在解题中的作用和效率；算法关心不同设计技术的适用性和效率。 考虑问题的高度：数据结构关心的是解具体问题，算法不仅如此，它提供一种解决问题的通用方法。,与其他课程的关系,高级程序设计语言（C语言，等）,数据结构,算法设计与分析,系统的设计与实现,2,主要内容,目标：了解算法分析的基本含义。掌握查找算法、排序算法、递推算法等算法理念。,提纲 补1.1 算法分析 补1.2 查找算法 补1.3 排序算法 补1.4 递推算法,3,补1.1 算法分析,前面的课程内容以C语言语法为主 本补充章介绍一些基本算法

2、 大家在编写程序的时候，“八仙过海，各显神通”，解决同一个问题，可以使用各种方法。 算法之间存在着“优劣”之分,4,补1.1 算法分析,1、算法分析的目的 通过对算法分析，在把算法变成程序实际运行前，就知道为完成一项任务所设计的算法的好坏，从而运行好算法，改进差算法，避免无益的人力和物力浪费。,5,补1.1 算法分析,2、算法分析的含义 算法分析是一种分析技术，它以独立于具体的硬件平台、编译器和编程语言的方式，来描述算法的执行行为，即它关心的是算法，而不是程序。 算法分析是一种测量算法的性能的方法，它不关心精确的细节，如在算法的某次运行中总共执行了多少条机器指令，而是想要一个大致的估计，即随着

3、输入数据规模的增大，算法所需工作量以何种速度递增。（关心变化趋势）,6,补1.1 算法分析,3、算法复杂性 时间复杂性和空间复杂性,7,补1.1 算法分析,1.有些计算机需要用户提供程序运行时间的上限，一旦达到这个上限，程序将被强制结束。 2.正在开发的程序可能需要提供一个满意的实时响应。,为什么要考虑时间复杂性？,8,1.多用户系统中运行时，需指明分配给该程序的内存大小。 2.可提前知道是否有足够可用的内存来运行该程序。 3.一个问题可能有若干个内存需求各不相同的解决方案，从中择取。 4.利用空间复杂性来估算一个程序所能解决问题的最大规模。,考虑程序的空间复杂性的理由：,补1.1 算法分析,

4、9,4. 如何进行算法分析？ 事前分析：就算法本身，通过对其执行性能的理论分析，得出关于算法特性时间和空间的一个特征函数（）与计算机软硬件没有直接关系。 事后测试：将算法编制成程序后放到计算机上运行，收集其执行时间和空间占用等统计资料，进行分析判断直接与物理实现有关。,补1.1 算法分析,10,1）事前分析 目的：试图得出关于算法执行特性的一种形式描 述，以“理论上”衡量算法 “好坏”。 如何给出反映算法执行特性的描述？ 最直接方法：统计算法中各种运算的执行情况： 运用了哪些运算 每种运算被执行的次数 该种运算执行一次所花费的时间 算法的执行时间=Fi*ti,补1.1 算法分析,11,估算执行

5、时间的方法,选择一种或多种（如加、乘和比较等），然后确定这种（些）操作分别执行了多少次。 令n代表程序实例特征，则执行时间计算公式为： TP（n）= c1ADD(n) + c2SUB(n) + c3MUL(n) + c4DIV(n)+,c1、c2、c3、c4分别表示一次加、减、乘、 除操作所需的时间。函数ADD (n) 、SUB (n) 、MUL (n) 、DIV (n)分别表示程序P中，所使用的加、减、乘、除操作的次数。,这种方法是否成功取决于识别关键操作的能力，这些关键操作对时间复杂性的影响最大。,一条语句在整个程序运行时实际执行时间= 频率计数 * 每执行一次该语句所需的时间,补1.1

6、算法分析,12,频率计数：算法中语句或运算的执行次数。 例： x=x+y for (i =1;i=n;i+) for (i =1;i=n;i+) x=x+y; for (j =1;j=n;j+) x=x+y; (a) (b) (c) 分析： (a)： x=x+y执行了1次 (b)： x=x+y执行了n次 (c)： x=x+y执行了n2次 注：在事前分析中，只限于确定与所使用机器及其他环境因素无关的频率计数，依此建立一种理论上分析模型。,补1.1 算法分析,13,数量级 语句的数量级：语句的执行频率。例：1，n ，n2 算法的数量级：算法包含所有语句的执行频率之和。 算法的数量级从本质上反映了一

7、个算法的执行特性。 例：求解同一问题的三个算法分别具有n, n2 , n3数量级。 若n=10，则可能的执行时间将分别是10，100，1000 个单位时间与环境因素无关。,补1.1 算法分析,14,补1.1 算法分析,5、算法复杂性的等级 常量阶 时间复杂度为O(1) 算法运行时间不随着问题的规模而变化 如： 简单的赋值语句， x=y; 算术运算， x=y*5+z%3; 固定次数的循环语句等,for (i=0;i10;i+) for (j=0;j20;j+) aij=0;,15,补1.1 算法分析,线性阶 时间复杂度为O(n) 算法运行时间随着问题的规模而成线性变化,for (i=0;in;i

8、+) sum=sun+i; 算法执行了多少次运算？,i=0; 执行了1次 in; 执行了n+1次 i+； 执行了n次 sum=sun+i;执行了n次 共执行了3n+2次运算,时间复杂度就是O（3n+2） 实际上，算法的时间复杂度并不精确计算基本操作的执行次数，它主要考虑问题规模的增长率。 O（n）,16,补1.1 算法分析,平方阶 时间复杂度为O(n2) 算法运行时间随着问题的规模而成平方变化,for (i=0;in;i+) for (j=0;jn;j+) sum=sun+aij; /执行n2次 printf(“%dn”,sum); /执行n次 时间复杂度就是O（n2）,17,补1.1 算法分

9、析,多项式阶 时间复杂度为O(nd) d为固定常数 算法运行时间随着问题的规模而成d次多项式阶变化 对数阶 O(logn) 指数阶 O(log2n) 阶乘阶 O(n!) ,若T(n) = adnd+a1n+a0是一个d次多项 式，则有T(n)=O(nd),18,5、算法分类（计算时间）,多项式时间算法：可用多项式（函数）对其计算时间限界的算法。 常见的多项式限界函数有： (1) (logn) (n) (nlogn) (n2) (n3) 指数时间算法：计算时间用指数函数限界的算法 常见的指数时间限界函数： (2n) (n！) (nn) 说明：当n取值较大时，指数时间算法和多项式时间 算法在计算时

10、间上非常悬殊。,补1.1 算法分析,19,计算时间的数量级对算法有效性的影响 数量级的大小对算法的有效性有决定性的影响。 例：假设解决同一个问题的两个算法，它们都有n个输入，计算时间的数量级分别是n2和nlogn。则： n=1024：分别需要1048576和10240次运算。 n=2048：分别需要4194304和22528次运算。 分析：在n加倍的情况下，一个(n2)的算法计算时间增长4倍，而一个(nlogn)算法则只用两倍多一点的时间即可完成。,补1.1 算法分析,20,典型的计算时间函数曲线,结论：在顺序处理机上扩大所处理问题的规模，最有效的途径是降低算法计算复杂度的数量级，而不是（仅仅

11、依靠）提高计算机的速度。,补1.1 算法分析,21,补1.2 查找算法,所谓查找（search），即根据给定的某个值，在一组数据（如一个数组）中，确定有没有出现相同值得数据元素。 查找是非常实用的算法。如，查找字典。 问题描述，令b表示被查找的数组，n表示数组元素的个数，x表示被查找的目标。问题是“数据x是否出现在数组b当中？”,22,补1.2 查找算法,1、顺序查找方法 基本思路：从数组b的第一个元素开始，逐个地与x进行比较，一直到查找成功或者所有的数组元素都已经处理完毕。,参考程序： int search(int b, int n, int x) int k; for (k=0;(kn)

12、算法的复杂度为O(n),23,补1.2 查找算法,2、折半查找方法(对于有序数组),参考程序： int search(int b, int n, int x) int L,R,mid; L=0;R=n-1; while(L=R) mid=(L+R)/2; if (x=bmid) return(mid); else if (xbmid) R=mid-1; else L=mid+1; return(-1); 算法的复杂度为O(lnN),24,补1.3 排序算法,所谓排序（sort），就是将一个任意的数据元素的序列，重新排列成一个具有某种顺序的序列。 排序是非常实用的算法。如，成绩排名等。 问题描述

13、，令a表示待排序的数组，n表示数组元素的个数，在排序之前，数组中元素是随机的，而在排序之后，这些数据按照一定的规律存放。,25,补1.3 排序算法,冒泡法 基本思路：其原理为从a0开始，依次将其和后面的元素比较,若a0ai，则交换它们，一直比较到an。同理对a1,a2,.an-1处理，即完成排序。,void bubble(int *a,int n) /*定义两个参数：数组首地址与数组大小*/ int i,j,temp; for(i=0;iaj) temp=ai; ai=aj; aj=temp; ,26,补1.3 排序算法,选择法 基本思路：选择法循环过程与冒泡法一致，它还定义了记号k=i,然后

14、依次把ak同后面元素比较，若akaj,则使k=j.最后看看k=i是否还成立，不成立则交换ak,ai,这样就比冒泡法省下许多无用的交换，提高了效率。,void choise(int *a,int n) int i,j,k,temp; for(i=0;iaj) k=j; /*是k总是指向最小元素*/ if(i!=k) /*当k!=i是才交换，否则ai即为最小*/ temp=ai; ai=ak; ak=temp; ,27,补1.4 递推算法,递推（Recursive Algorithm），即从某个一直得初始条件出发，根据这个已知的事实，并按照一定规律推断出下一个事实。然后再从这个新的已知的事实出发，

15、向下再推断一个事实。 递推是计算机数值计算的一个重要方法，可以将复杂的运算简化为若干个重复的简单运算，从而发挥计算机长于重复处理的特点。 其实质与差分方程类似，著名的例子为Fibonacci数列。,28,补1.4 递推算法,例：猴子吃桃 有一只小猴子，有一天摘了一堆桃子，当天吃掉了一半，后来觉得不过瘾，就又多吃了一只。第二天，小猴子又将剩下的桃子吃掉了一半，并多吃了一个。以后每天都吃了前一天剩下的一半零一个。到了第十天的时候，发现只剩下一只桃子了。请问小猴子第一天一共摘了多少桃子？,29,补1.4 递推算法,解题思路 T10=T9-T9/2-1 即 T9=(T10+1)*2 T8=(T9+1)

16、*2 T7=(T8+1)*2 T1=(T2+1)*2 定义A为桃子的个数，第10天为1个，第9天为4个，第8天为10个。,#include void main() int A,i; A=1; for (i=9;i=1;i-) A=(A+1)*2 pintf(小猴子第一天共摘了 %d 个桃子.n，A); ,30,补1.4 递推算法,例：猴子分桃 1979年李政道去中国科技大学访问，出了一道题目。5只猴子摘了一堆桃子，等第二天再来分。夜里一只猴子偷偷爬起来，吃掉了一只桃子，然后把剩下的桃子分成5份，取走了自己应得到的一份，然后回家了。过了会儿，第二只猴子也爬了起来，吃掉了一只桃子，然后把剩下的桃子

17、分成5份，取走了自己应得到的一份。第三、四、五只猴子都是这样，吃掉了一只桃子后，正好把剩下的桃子每次都能分成5份。 请问最初至少有多少个桃子？每只猴子夜里起床后看到多少只桃子？,31,补1.4 递推算法,解题思路 定义peachi（1i 5）表示第i只猴子看到的桃子数。 peach2=(peach1-1)*4/5 peachi=(peachi-1-1)*4/5 （2i 5） 如果知道了peach1 或者 peach5中的任意一个，都可以递推出来每只猴子看到的桃子个数。可惜不知道啊。,32,补1.4 递推算法,解题思路 但是我们知道： peach1%5=1； peach2%5=1，并且peach2=(peach1-1)*4/5 peach3、peach4、peach5也如此 可以用枚举法，让peach1=6，来试验是否满足上述条件。然后依次peach1累加5，直到满足上述所有要求。,33,14.4 递推算法,#include void main() int i, peach6=0; /peach0不使用，为了计算方便 peach1=6; while(1) for (i=2;i=5;i+) peachi=(peachi-1-1)*4/5; if (peachi%5!=1) break; if (i=5) pea