第三章 静态场及其边值问题的解

1、第三章 静态场及其边值问题的解,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,2,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,3,3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,主要内容,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,4,3.1 静电场分析,1.静电场基础,体电荷产生的电场,面电荷产生的电场,线电荷产生的电场,点电荷产生的电场,基本方程：,边界条件：,已知电荷分布的无界空间,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,5,3.1 静电场分析,例1：计算均

2、匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。,解：,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,6,3.1 静电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,7,若电荷分布具有对称性，可用高斯定理求解：,1）球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。,3.1 静电场分析,2）轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱体，圆柱壳等。,3）无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,8,计算步骤：,分析场的对称性，判断能否用高斯定律求解 选择合适的高斯面，使电通量积分简化为,3.1 静电场分析,c)计算高斯面内的

3、电荷 q d)利用高斯定理计算电场,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,9,例2、求真空中均匀带电球体的场强分布。（球体半径为R，带电量为q，电荷密度为）,解：,（1）球外某点的场强,( r R ),3.1 静电场分析,（2）求球体内一点的场强,（r R）,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,10,例3、求真空中无限长带电直线的场强分布。（已知线电荷密度为l）,解：,3.1 静电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,11,例4、计算无限大均匀带电平面的场强分布。（电荷密度为s）,解：,3.1 静电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问

4、题的解,12,3.1 静电场分析,2.静电位,用场量D、E描述静电场，求解场分布时，除少数情况可直接用高斯定理外，都要涉及求解矢量边值问题或矢量积分计算较为复杂。为简化计算，可以引入静电位。,称为静电位。引入负号的目的是规定静电位沿电场方向减小。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,13,3.1 静电场分析,静电位不唯一，可以相差一个常数。选择电位参考点，可唯一确定电位。电位参考点选择方法：,（1）若电荷分布在有限区域，取无限远作电位参考点 （2）若电荷分布沿伸到无限远，选取有限区域中的点作电位参考点，避免在数学计算过程中发生困难 （3）工程上，由于大地的电位相对稳定，一般取大地

5、为电位参考点,1）静电位的确定,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,14,在静电场中把一个单位的正电荷从P点沿任意路径移动到参考点Q所作的功为,换言之，P点的电位等于把一个单位的正电荷从P点沿任意路径移动到参考点所作的功，即,3.1 静电场分析,满足叠加原理,若,则,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,15,例5. 求均匀电场的电位分布,3.1 静电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,16,体电荷产生的电位,面电荷产生的电位,线电荷产生的电位,点电荷产生的电位,标量函数的积分,3.1 静电场分析,可以证明：,(电位参考点为无穷远点),2020/

6、8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,17,例6. 求电偶极子的电位和电场强度分布,3.1 静电场分析,解：在球坐标系中,用二项式展开，又有，得,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,18,电力线微分方程：,解得线方程为,将和代入上式，,等位线方程：,代入上式，得,表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。,3.1 静电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,19,3.1 静电场分析,例7求长度为L,电荷线密度为的均匀带电线的电位及电场。,解：建立圆柱坐标系，使具有轴对称性的场与无关,先计算线电荷上位置z的微元dl在场点(, , z)的电位,2020/8/2,第三章

7、 静态场及其边值问题的解,20,3.1 静电场分析,积分得,思考：,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,21,3.1 静电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,22,3.1 静电场分析,2）静电位的微分方程及边界条件,泊松方程,拉普拉斯方程,静电位微分方程,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,23,3.1 静电场分析,分界面上电场有限,由,和,静电位满足的边界条件,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,24,若介质分界面上无自由电荷,导体是等位体，在导体表面的静电位满足,静电位的微分方程和边界条件构成偏微分方程的 边值问题，用分离变量

8、法和镜像法求解。,3.1 静电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,25,3.1 静电场分析,例8：两块无限大接地导体平板分别置于x = 0 和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为 S0 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板之间的电位和电场。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,26,3.1 静电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,27,3.1 静电场分析,导体在静电平衡状态下是一个等位体。,（1）对孤立导体来说，它的电位应与它所带电量成正比，电量q与电位的比值称为孤立导体的电容，用符号C来表示，即,孤立导体的电容在

9、数值上等于导体每升高单位电位所需要的电量。它只与导体的大小和形状有关，而与导体的材料、是否带电和带电多少均无关。如同水桶的容量与水无关。,3.导体系统的电容,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,28,（2）被电介质隔开的靠得很近的双导体（极板）组成的系统，称为电容器。设电容器的两个极板上分别带有等量异号的电荷q，两极板间的电位差U，q 与U之比定义为电容器的电容，即,对于给定电容器，其电容是一个常量，电容的大小只与它的几何尺寸、形状和其中电介质的种类有关。,3.1 静电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,29,3.1 静电场分析,电容器广泛应用于电子设备的电

10、路中： （1）在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、解耦等作用； （2）在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率； （3）电容可以取代部分电磁作为储能元件,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,30,计算电容器的电容的大致步骤是： (1)假定两导体上分别带电荷+q和-q； (2)计算两导体间的电场强度E； (3)由 ，求出两导体间的电容； (4)求比值 ，即得出所求电位差。,3.1 静电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,31,3.1 静电场分析,例9 试求球形电容器的电容。,解：设内导体的电荷为

11、,则,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当,时,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,32,例10 平行双线传输线的导线半径为a，两导线的轴线距离为D，Da,求传输线单位长度的电容,3.1 静电场分析,解：设单位长度传输线所带电荷为l,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,33,例11 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间填充的介电常数为的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。,3.1 静电场分析,解：设单位长度同轴线所带电荷为l,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,34,静电场是由静止电荷产生的，在静电系统建立(或充电) 过程中，外加电源必须

12、克服电荷之间的相互作用力作功。如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。 据此思路即也可得到电场能量的计算公式。,3.1 静电场分析,4. 静电场的能量,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,35,体电荷,面电荷,线电荷,3.1 静电场分析,带电导体系统,每个导体是一个等位体，且只分布在导体的表面上,双导体电容器,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,36,3.1 静电场分析,因为,因此,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,37,3.1 静电场分

13、析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,38,3.1 静电场分析,电场的总能量：,电场能量密度：,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,39,3.1 静电场分析,例12 试求真空中体电荷密度为 ，半径为 的介质球产生的静电能量。,解法一： 应用高斯定理，得,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,40,3.1 静电场分析,解法二：由微分方程法得电位函数为,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,41,3.1 静电场分析,例13 如图所示，一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电导率分别为1 和2 ，分界面为无限大平

14、面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。,解：介质分布不对称，采用介质的真空模型,可认为介质球分布在分布有极化电荷真空中，因为,介质1和介质2中无极化电荷。根据球面的边界条件，球面附近的介质1和介质2分界面上，电场无法向方向。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,42,3.1 静电场分析,在静电平衡下，总电荷应均匀分布在球面上。因此球面上 ， 。表明电场强度沿径向方向，且球面对称称。,因此无极化电荷，可以推知，介质1和介质2的整个分界面上无极化电荷。那么极化电荷只分布在球面上。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,43,3.1 静电场分析 3.2 导电媒质

15、中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,主要内容,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,44,3.2 导体中的恒定电场分析,在静电场中的导体： 若内部无恒定电流，导体表面积累足够的感应电荷，所激发的感应电场抵消原电场，内部总电场为零。 若内部有恒定电流，导体表面无法积累足够感应电荷，所激发的感应电场无法抵消原电场，内部电场不为零，这种由恒定电流引发的电场称为恒定电场。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,45,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,静电场和恒定电场： 静电场一般指绝缘介质中的静电

16、场；恒定电场是导体中的静电场。二者本质相同 媒质对静电场的影响主要通过介质的极化；媒质对恒定电场的影响主要通过电流 维持静电场不外加能量；要维持恒定电场，必须维持恒定电流，有焦耳损耗。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,46,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,基本方程,1.恒定电场的基本方程和边界条件,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,47,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,恒定电场的边界条件,折射定律,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,48,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,静电位满足的边界条件,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解

17、,49,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,2.恒定电场与静电场的比拟,表2 两种场对应物理量,表1 两种场所满足的基本方程和重要关系式,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,50,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,恒定电场与无源静电场，对应物理量满足相同形式的场方程和边界条件。 如果一个恒定电场问题和一个无源静电场问题具有具有同样的边界和边界条件，则它们的解必相同的形式。若求出静电场的解，可以把该解中的物理量用对应的物理量替换，得到恒定电场的解 这种求解场的方法称为静电比拟法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,51,例1 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外

18、导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2 ，电导率为 1 =0和2 =0 。设内导体的电压为U0,外导体接地。求：（1）两导体之间的电位移矢量和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,52,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,解：,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,53,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,54,例2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为

19、1和2 ，电导率为 1和2 。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,55,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,解法一：设单位长的同轴电缆上，由内导体流到外导体的电流为 I ，则,(1),(2),2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,56,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,解法二：静电比拟法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,57,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线

20、与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U时，必定会有微小的漏电流J存在。,漏电流与电压之比为漏电导，即,其倒数称为绝缘电阻，即,3.漏电导,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,58,(1)假定两电极间的电流为I ； (2)计算两电极间的电流密度矢量J ； (3)由J=E 得到E ; (4)求比值 ，求出两导体间的电位差。 (5)由，即得出所求电容；,计算电导的方法：,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,59,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,例3 求同

21、轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为R1、R2，长度为 ,中间媒质的电导率为 ，介电常数为 。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,60,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,解：直接用电流场的计算方法,设,电导,绝缘电阻,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,61,3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,主要内容,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,62,3.3 恒定磁场分析,1.恒定磁场基本理论,线电流,体电流,面电流,在电流分布具有某种特殊

22、对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算恒定磁场。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,63,3.3 恒定磁场分析,例1 试求无限大电流板产生的磁感应强度B,解：分析场的分布，取安培环路（与电流成右手螺旋）,根据对称性,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,64,3.3 恒定磁场分析,例2 有一磁导率为，半径为a的无限长圆柱导体，其轴线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气（0），试求圆柱内外的B，H与M 的分布。,解：磁场具有轴对称性，应用安培环路定律，得,磁场强度,磁化强度,磁感应强度,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,65,3.3 恒定磁场分析,解

23、选用圆柱坐标系，,应用安培环路定律,得,例3 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。,取安培环路 交链的部分电流为,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,66,3.3 恒定磁场分析,应用安培环路定律，得,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,67,3.3 恒定磁场分析,2.恒定磁场的矢量位,有源区(矢量泊松方程),无源区(矢量拉普拉斯方程),注:矢量磁位与磁通的关系,(体电流),(面电流),(线电流),在无界媒质中的解为,称为矢量位,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,68,3.3 恒定磁场分析,恒定磁场的边界条件：,在不同媒质分界面上,2020/8/2

24、,第三章 静态场及其边值问题的解,69,讨论:,(1)如边界面与z轴垂直,电流沿z轴方向流动,则矢量位只有z分量,且,3.3 恒定磁场分析,(2)如边界面是球面或柱面，电流环流，则矢量位只有分量,且,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,70,3.3 恒定磁场分析,对于单匝细导线线圈上的电流回路，磁链定义为穿过该回路的磁通量。,1）磁链(与导线回路铰链的磁力线条数或磁通量):,3.电感,对于粗导线上的电流回路，可以把粗导线看作是由N根横截面面积相等的细导线回路并排而成，它的磁链定义为这些细导线回路的平均磁通量,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,71,3.3 恒定磁场

25、分析,对某一粗导线，假定可以看作由4条细导线并排而成，其磁链为,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,72,3.3 恒定磁场分析,粗导线回路的磁链包含两部分：一部分是不穿过导体、与粗导线整体铰链的磁通量；另一部分是磁力线穿过导体、只与粗导线部分铰链的磁通量。,表示与 铰链的细导线数目与细导线总数的比值，也是包围 的粗导体部分的比例。,若N ，则,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,73,设回路C 中的电流为I，所产生的磁场与回路C 交链的磁链为，则磁链与回路C 中的电流I有正比关系，其比值,称为回路C的自感系数，简称自感。,粗导体回路的自感包含内自感 与外自感,3.3

26、 恒定磁场分析,2）自感,自感感与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,74,对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2 ，当回路C1中通过电流I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链12也与I1成正比，其比例系数,称为回路C1与回路C2的互感系数，简称互感。,同理，回路C2对回路C1的互感为,3.3 恒定磁场分析,3）互感,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,75,互感的特点： （1）互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，与电流无关。 （2）满足互易关系，即M12=M21

27、,3.3 恒定磁场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,76,3.3 恒定磁场分析,4）电感的计算,计算自感或互感的一般步骤为： (1)假设回路中的电流为I； (2)根据I求出磁感应强度B； (3)求出与回路铰链的磁链； (4)计算比值，求出自感或互感。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,77,3.3 恒定磁场分析,解：总自感,设安培环路包围部分电流 ，则有,例4 试求图示长l为的同轴电缆的自感 L。,穿过宽度为 ,长度为l的矩形面积的磁力线条数为,(1)内导体的内自感,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,78,3.3 恒定磁场分析,与这部分磁力

28、线铰链的导体在整个导体中比重为,因此，有,内自感,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,79,3.3 恒定磁场分析,工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流，故忽略此部分的内自感 。,(2)外导体内自感,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,80,3.3 恒定磁场分析,(3) 内、外导体间的外自感,总电感为,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,81,3.3 恒定磁场分析,例5 设传输线的长度为 , 试求图示两线传输线的自感。,解：总自感,设,总自感为,内自感,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,82,3.3 恒定磁场分析,设,解法二：,2020/

29、8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,83,3.3 恒定磁场分析,同理,5) 纽曼公式,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,84,恒定电流的磁场是由恒定电流产生的。 在电流分布从无到有的建立过程中，各回路中的电流随时间而变化，它们产生的磁场也随时间而变化，使得与回路相交链的磁通也随时间而变化. 各回路中必存在感应电动势，并且各回路上的感应电动势又要阻止回路中电流的变化。因此，与各回路相接的电源要克服感应电动势做功，供给电流系统能量。 假定在恒定电流磁场建立过程中，电源克服感应电动势作功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。或者说磁场能量等于该磁场建立过程中外加电源所作的总功。,3

30、.3 恒定磁场分析,4.磁场的能量,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,85,体电流,电流回路,3.3 恒定磁场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,86,电流回路C1和回路C2,回路C1的自有能,回路C2的自有能,C1和C2的互能,3.3 恒定磁场分析,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,87,3.3 恒定磁场分析,若电流分布在有限空间，密度为J，则,因此,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,88,3.3 恒定磁场分析,磁场能量密度：,磁场的总能量：,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,89,3.3 恒定磁场分析,例6

31、 长度为 ,内外导体半径分别为 R1 与 R2 的同轴电缆，通有电流 I ，试求电缆储存的磁场能量与自感。,解：由安培环路定律，得,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,90,3.3 恒定磁场分析,自感,磁能为,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,91,3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,主要内容,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,92,3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理,1.边值问题的类型 泊松方程或拉普拉斯方程和不同的边界条件

32、构成不同的边值问题：,边界条件满足第一类边界条件,1）第一类边值问题（或狄里赫利问题）,边界条件满足第三类边界条件,3）第三类边值问题（或混合边值问题）,边界条件满足第二类边界条件,2）第二类边值问题（或纽曼问题）,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,93,第一类边值问题,第二类边值问题,第三类边值问题,3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,94,自然边界条件：,周期边界条件：,衔接边界条件：,3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,95,3.4 静态场的边值问题及解的惟一性

33、定理,在场域V的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有唯一值。,2.唯一性定理,定理表明： （1）静态场由场方程与0阶（或1阶）边界条件决定，无需同时给出0阶和1阶边界条件。 （2）不管用什么方法去求解，只要最后的解满足场方程和边界条件，这个解就是静态场的解；,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,96,3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,主要内容,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,97,3.5 镜像法,若自由电荷附近有导体，

34、导体表面上必有感应电荷分布，导体外任意一点的场必等于自由电荷和感应电荷产生的场。,设法找到一个或若干个等效电荷，它在求解区域激发的等效电场正好等于感应电荷激发的感应电场。求解区域的静电场可以认为是原有电荷和等效电荷产生的场。,这种通过等效电荷求解边值问题的方法称为镜像法；等效电荷一般位于镜像点，通常称为镜像电荷。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,98,（1）镜像电荷必须处于求解区域之外。确保泊松方程的电荷分布不改变,（2）边界面上，镜像电荷产生的电位与原有电荷产生的电位和满足原来的边界条件。,3.5 镜像法,在用镜像法求解时，必须服从两条法则:,镜像法的局限性： 不是对任意情

35、况都存在这样的等效电荷，只有一些特殊情况能找到这样的等效电荷。,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,99,（1）点电荷对无限大接地导体平面的镜像,1.接地导体平面的镜像法,3.5 镜像法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,100,则镜像电荷的大小和位置:,导体平面的感应电荷密度:,设镜像电荷的大小和位置:,导体平面的感应电荷:,3.5 镜像法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,101,3.5 镜像法,例1： 真空中，电量为的点电荷位于点 处， 平面是一个无限大的接地导体板。（1）求z轴上电位为 的点的坐标；（2）计算该点的电场强度。,解:(1)根据

36、镜像法可知上半空间的电位,(2)z轴上的电场强度,z1:,z1:,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,102,（2）线电荷对无限大接地导体平面的镜像,3.5 镜像法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,103,设镜像电荷的大小和位置:,导体平面的感应电荷密度:,则镜像电荷的大小和位置:,3.5 镜像法,例题：p135，例3.5.2,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,104,（3）点电荷对相交导体平面的镜像,3.5 镜像法,思考题：点电荷对两个任意角度的相交导体平面的镜像电荷？,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,105,思考题：点电荷对

37、平行接地导体平面的镜像,3.5 镜像法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,106,（1）点电荷对接地导体球面的镜像,2.导体球面的镜像法,3.5 镜像法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,107,设镜像电荷的大小和位置:,3.5 镜像法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,108,则镜像电荷的大小和位置:,球面上的感应电荷密度:,球面的感应电荷:,3.5 镜像法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,109,3.5 镜像法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,110,设镜像电荷的大小和位置:,3.5 镜像法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,111,则镜像电荷的大小和位置:,球面上的感应电荷密度:,球面的感应电荷:,3.5 镜像法,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,112,（2）点电荷对不接地导体球面的镜像,3.5 镜像法,电中性 等势体,2020/8/2,第三章 静态场及其边值问题的解,