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文档简介

1、12.2线性方程组的相容性定理,线性方程组相容性的判定,线性方程组解的情况,齐次线性方程组有非零解的充要条件,上一页,下一页,8,2线性方程组的相容性定理 在上一节中，我们在求解线性方程组时，是先把其增广矩阵A|B化为如形式（12.3）的阶梯行矩阵，尔后视 dr+1 是否为零来判定线性方程组是否有解（相容）；另外，由第十一章的命题11.11知，一个矩阵化为阶梯行矩阵后其非零行的行数就是该矩阵的秩。而利用初等行变换求解线性方程组属同解变形，初等行变换也不改变矩阵的秩，为此，可利用矩阵的秩来刻划线性方程组是否有解（相容）这一特性。即下面的命题成立。 命题 12.2( 线性方程组相容性定理)线性方程

2、组(12.1)有解(相容)的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等. 那么当线性方程组有解时,如何判定其解是否唯一?因为,在秩A=秩A|B=r,方程组(12.2)有解的情况下,当rn(未知量个数)时,这时会出现自由未知量(共n-r个),方程组有无穷多解;而当r=n时,这时不会出现自由未知量,所以方程组有唯一解,即有下面的命题. 命题 12.3 设A和A|B分别是线性方程组(12.1)的系数矩阵和增广矩阵,且秩A=秩A|B=r,则(i)当rn时,线性方程组(12.1)有无穷多解;(ii)当r=n时,线性方程组(12.1)有唯一解. 例1 判定下列方程组是否有解(相容)?若有解,则求出其解.,(

3、1),;(2),上一页,下一页,9,(3),解 对各方程组的增广矩阵实施初等变换,(1) AB=,(2)AB=,因为秩AB=3秩A=2,所以线性方程组无解.,因为秩AB=秩A=23(未知数个数),所以线性方程组有无穷多解.即,上一页,下一页,10,(3)AB=,因为秩AB=秩A=3(未知数个数),所以方程组有唯一解.,即,无解?有唯一解?有无穷多解?,解 对方程组的增广矩阵实施初等行变换得,AB=,(ii) 当,为任意数时,方程组有唯一解.其解为,上一页,下一页,11,(iii) 当,即,时,方程组有无穷多解.其一般解为,(,是自由未知量) ,对于齐次线方程组(12.2),因为其为增广矩阵是AO,所以总有 秩 A = 秩 AO,即齐次先性方程组永远有解;事实上, 永远都满足齐次线性方程组(12.2),这样的解称为线性方程组(12.2)的零解.为此,重要的是如何判定是否有非零解?由命题12.3立即可得; 命题12.4 齐次线性方程组(12.2)有非零解的充要条件是它的系数矩阵的秩小于未知的 个数.,例3 在同一平面内, 已知存在非零向量,求,解 设非零向量,同时垂直于三

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