第二章 开普勒方程.ppt

1、第二章 开普勒方程,主讲教师：杏建军 2020年8月2日,授课内容,卫星轨迹的预测 开普勒方程的求解 开普勒轨道根数,1.1 轨道预报,已知t0时刻卫星的位置r0，速度v0，预报时刻t,卫星的位置r和速度v 在极坐标下,如何计算的?,1.1 轨道预报,1.1 轨道预报,带入位置r和速度v的表达式中,回到原始问题，已知t0,r0,v0，求时刻t的r和速度v,1.1 轨道预报,需要,开普勒第二定律,主要求解出上述方程，就可以得到真近点角f与时间t之间的关系，进而预报卫星在轨道的位置和速度。,授课内容,卫星轨迹的预测 开普勒方程的求解 开普勒轨道根数,2.1 开普勒方程,当0e1时，引入一个新的角度

2、E（偏近点角）,在以C点（椭圆中心）为原点的坐标系中,2.1 开普勒方程,在以F点（椭圆一个焦点）为原点的坐标系时，椭圆参数方程为,坐标系原点平移到C点后，椭圆参数方程为,得到r与E 的数学关系,2.1 开普勒方程,进一步，可以得到,2.1 开普勒方程,上述两式相除，再开平方，得到,上式两边同时对时间求导数,2.1 开普勒方程,由开普勒第二定理,积分，得到,著名的开普勒方程，表示了时间与真近点角的函数关系，其中 是一个新的积分常数,2.1 开普勒方程,定义平近点角M：,通过开普勒方程，可以得到运动时间 t 与偏近点角E，根据E与真近点角 f 的关系，得到 f ，进而进行卫星轨道的预报。,现在的

3、问题是如何求解开普勒方程？,2.2 开普勒方程的求解,第一种方法：序列迭代法,迭代停止条件,2.2 开普勒方程的求解,迭代格式是否收敛？,课堂练习：编制开普勒迭代求解matlab程序,2.2 开普勒方程的求解,M = pi/2; E0 = 0; E1 = 1; tem =0; e = 0.2; n = 0; while(abs(E1-E0)1e-6) E0 = tem; E1 = M + e*sin(E0); tem = E1; n = n+1; end n,当n=6时，E收敛,2.2 开普勒方程的求解,第二种方法：拉格朗日方法（1770年）,考虑函数,为一个小参数，如椭圆偏心率,2.2 开普

4、勒方程的求解,2.2 开普勒方程的求解,开普勒方程的拉格朗日级数解,E = M +e*sin(M)+e2/2*2*cos(M)*sin(M) + e3/6*(6*cos(M)2*sin(M)- 3*sin(M)3) + e4/24*(24*cos(M)3*sin(M) - 40*cos(M)*sin(M)3)+ e5/120*(65*sin(M)5 + 120*cos(M)4*sin(M) - 440*cos(M)2*sin(M)3),2.2 开普勒方程的求解,拉格朗日系数求解问题,n =5; syms M,n; ff = diff(sin(M)n,n-1),拉格朗日级数收敛问题,2.2 开普

5、勒方程的求解,第三种方法：牛顿迭代法,给定方程解的一个初始猜测值x0,迭代停止条件,2.2 开普勒方程的求解,课堂练习题：推导开普勒方程的牛顿迭代格式，并编制Matlab程序，比较与第一种迭代格式的区别,第一种迭代格式,2.2 开普勒方程的求解,M = pi/2; E0 = 0; E1 = 1; tem =0; e = 0.8; n = 0; while(abs(E1-E0)1e-6) E0 = tem; E1 = M + e*sin(E0); % E1 = E0 - (E0-M-e*sin(E0)/(1-e*cos(E0); tem = E1; n = n+1; end n,e=0.8时，第

6、一种迭代格式需要20次，牛顿迭代法需要6次,2.2 开普勒方程的求解,其他方法： 傅里叶级数法 高斯法,e=1，抛物线;e1,双曲线有类似的结果,2.2 开普勒方程的求解,课后作业 应用三种方法求解开普勒方程，计算M = 260，e = 0.8时的偏近点角E和真近点角f，并对结果进行对比分析。,2.3 卫星轨道的预报,已知t0,r0,v0，求时刻t的r和速度v,2.3 卫星轨道的预报,课后作业 以x0 = -5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008人造地球轨道卫星的初始条件，应用本节

7、的知识，预测2天后卫星的位置和速度，并与Matlab的结果进行比较。,授课内容,卫星轨迹的预测 开普勒方程的求解 开普勒轨道根数,3.1 开普勒轨道根数,已经得到的二体运动方程积分常数 轨道角动量矢量h，偏心率矢量e，卫星过近地点时刻,3.1 开普勒轨道根数,3.1 开普勒轨道根数,3.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹,星下点轨迹：航天器质心与地心连线与地球表面的交点,航天器轨道周期,3.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹,星下点轨迹与轨道半长轴 地球同步轨道,3.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹,星下点轨迹与轨道倾角,星下点轨迹的最高纬度就是航天器轨道倾角,3.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹,星下点

8、轨迹与轨道偏心率,3.3 开普勒轨道根数的计算,已知位置矢量和速度矢量，求6个轨道根数,3.3 开普勒轨道根数的计算,已知6个轨道根数，求卫星位置矢量和速度矢量,3.3 开普勒轨道根数的计算,3.3 开普勒轨道根数的计算,第一章作业 function robit_computer mu = 3.986004418e+14; %地球引力常数 tspan = 0:60:86400; options = odeset(AbsTol,1e-15,RelTol,1e-12,NormControl,on); x0 = -5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008; T,Y = ode45(orbit,tspan,x0