有限元在电磁场中的应用ppt课件.ppt

1、有限元法在电磁场分析中的应用,1,有限元法简介,有限元法是一种数值计算方法，最初用于力学领域，六十年代中期开 始用于电磁场计算 。目前在电磁场分析中，有限元法是较先进的方法之 一。这种方法以变分原理为依据，具有牢固的数学基础。 在实际的电磁场中，场是连续的，空间无限多个点的每一点都有确 定的的场量（即具有数学上所称的无穷维自由度)。而有限元法是将场域 划分为有限个单元，用一个简单的函数作为场变量模型（又称插值函 数），构成每个单元中场的试探解。有限元法可以将单元中任一点的待 求量 ，用该单元边界与其他单元边界的交点 (在有限元法中称为结点) 上的场量值表示 。因此，整个场的计算可归结为有限个结

2、点上场量的,2,的计算，即将无穷维自由度问题转化为有限个自由度的问题。 结点场量计算的思路如下：描述电磁场规律的是些偏微分方程， 首先找出与之相应的泛函，这样偏微分方程的边值问题就成了求泛函的极值问题。场域被分成有限单元后，整个场域的泛函就是各单元泛函之和。在引入插值函数并用结点场量表示单元内任一点的场量后，泛函近似转化为多元函数，变分极值近似转化为多元函数的极值。在对场量取偏导并令之为零后，得到的方程是代数方程。每个单元建立一个方程，在整个求解区域中则有一个代数方程组，计及边界条件后解此方程组就可求出各结点场量。在此过程中，并不要求每个单元中的插值函数满足整个场域的边界条件，所以可以很容易的

3、确定。由于,3,整个计算过程都是代数运算，故可由计算机进行。正因如此，有限元法成了求解电磁场边值的一种简单有效的方法。,4,有限元法解题的一般步骤,用有限元求解实际问题的步骤大致如下： （1）找出与被求解的边值问题相应的泛函。目前，电磁场中常遇到的一些偏微分方程相应的泛函均已被找到，例如与泊松方程 相应的泛函（对第二类边界条件）为 （1） 其中， 表示电位 的梯度， 表示求解域体积，s为其表面积，f为常数 （2）对求解域的连续域进行离散，即按一定方式将场域剖分为有限个单元体。若求解的是平面场，则可以用三角形、矩形、曲线四边形等单,5,元去分割（见图1）。对于三维空间场，单元的形状可以是四面体、

4、长方体、任意六面体等（见图2）。不论是平面场还是空间场，对于同一求解域可以用不同类型的单元去分割。究竟场域如何剖分及结点如何编号等，需要根据场域及边界的具体形状、结构、计算机容量、计算速度和求解的精度等因素来确定。,6,（3）选择场变量模型。因为多项式容易进行微积分运算，故目前大多采用多项式作为场变量模型来近似地表示真实的场分析。多项式的项数由单元上结点的数目及每个结点的未知量的性质、数目等因素所决定。,7,如平面场域中若用三角形【见图1（a）】，作为基本单元，当单元中每个结点的自由度为1时，则线性场变量模型为 （2） 式中， 代表单元内任意一点的场量，x、y为该点的坐标， 为系数 若用双线性

5、元的矩形单元【见图1（b）】为基本单元，则场变量模型为： （3）,8,（4）求出单元特征式。当选定单元形状和场变量模型后，就可确定表示单元特性的矩阵公式。例如，平面场中若选定三角形单元来分割，它的场变量模型由（2）式表示，其中系数 与三角形的三个顶点处的坐标极点及电位值有关。若令三角形ijm【见图1（a）】的三个顶点的函数值分别为 、 和 ，则有 （4）,9,解式（4）可得 （5） 式中 （6）,10,表示为ijm三角形面积。将式（5）代入式（4）经整理可得 （6） 其中 （7）,11,式（8）称为三结点三角单元的形状函数（也称内插函数或基函数）。至此，可用已知结点的场景及形状函数来表示单元中

6、未知点场量。 若令式（1）中f=0，对于第一、第二类边界条件，则式（1）变为 (9) 这就是第一、第二类边界条件下的拉普拉斯方程所对应的泛函。将式（7）代入式（9），然后进行求导运算可得,12,（10） 这就是拉普拉斯方程的三角单元矩阵特征式,13,（5）集合单元特性得到表示整个解域性质的矩阵方程式。为了求得全系统模型的特性，就必须“集合”全部单元的特性，然后求泛函的极值，导出联立代数方程组（又称有限元方程）。“集合”所依据的原理是：在一些单元相互连接的结点处，要求所有包括此结点的单元在该结点处的场变量相同。（4）和（5）步可一并由计算机来完成。 （6）求解有限元方程。这首先要考虑边界条件，然后由计算机解出未知结点的场变量值，通过这些结点值就能求出场内任一点的场量值。 总之，有限元法是从变分原理出发，通过区域划分和分片插值找出形状函数，在通过“集合”把变分问题近似转化为多元函数的极值问题。,14,因它在理论上以变分原理为基础，这既保障了方法的收敛性，同时又保