3-2函数的极值与最值

1、(1)确定函数的域；(2)求导数f(x)；找出域中所有的驻点和非导数点；(3)这些点将域分成几个单元；列表判断每个单元格中函数导数的符号，从而得到函数的单调区间。点评：由于函数在不同区间的单调性不同，图像上会出现“峰”和“谷”，使得函数值在局部范围内出现“最大”和“最小”，称为函数的最大值和最小值。3.2函数的极值和最大值，1。函数的极值。正如我们从上一节中所知道的，大多数函数f(x)在其定义域中的单调性可能不是唯一的。让函数f(x)定义在区间(a，b)中，x0(a，b)的最大值和最小值统称为函数的极值，函数获得极值的点称为极值点。极值的定义如下：在上图中，函数有最大值和最小值，f(a)和f(

2、b) (1)函数的极值是局部概念，最大值是全局概念；(2)极值的数量可以是倍数，最小值可以大于最大值；(3)极值必须在区间内获得，但最大值可以在终点获得。(4)函数在一定区间内可能有极值或无穷大；单调函数必须有无穷大的值。函数的极值和极值的区别：见书中的图，函数的极值和极值之间的关系：如果函数的极值不是在端点得到的，它必须是在区间内的极值点得到的。获得极值的必要条件：观察极值和切线之间的关系：在极值点，如果函数曲线有切线，则切线是水平的。定理1(费马定理)(必要条件)让函数f(x)在点x0处可导，并在x0处获得极值，然后f (x0)0，注意：可导然而，应该注意的是驻点只是一个可疑的极值点。此外

3、，函数有可能在不可微点获得极值。极值的第一个判别法是，如果函数在该点的某个邻域内(除该点外)是可导的，则在该点处得到最大值；在该点获得最小值；在这一点上没有无限的价值；公式：“正负第一取最大值，正负第一取最小值，常数正负不取极值”，所谓正负都是指导性数字的符号。求函数极值的步骤如下：(1)确定函数的值域；(2)求导数f(x)；找出域中所有的驻点和非导数点；(3)这些点将域划分为若干个单元，列出每个静止点和非导数点的左右导数符号，并根据定理判断它是否是极值点，如果是，进一步判断它是最大值点还是最小值点；(4)求出每个极值点的函数值，然后得到该函数的所有极值。因此，函数f(x)的最大值是f(1)1

4、0，最小值是f(3) 22。在例1中，求函数f (x)x 33x 29x 5的极值，解(1)的定义域是R (2)f (x)3x 26x 93(x1)(x3) (3) 1)，1，(1，3)，3，f(x)，0，0，f(x)，10，最大值，最小值，最小值-3，最大值，0，-不存在，(。F (1)=-3是f(x)的最小值。示例2，解决方案：示例3查找函数的极值。得到驻点，也就是说，函数单调地增加，所以没有无穷的值。如果函数f (x)的二阶导数在驻点x 0处是f (x 0) 0，那么点x 0一定是一个极值点，并且f (x 0)是最大值还是最小值可以根据二阶导数f (x 0)的符号来判断，但是如果f (x

5、 0)0或f(x)在这一点上是不可导的，则必须用第一判别式来判断。定理2(第二判别式法)让函数f (x)在点x 0和f (x 0)0处有二阶导数，然后(1)当f (x 0)0时，函数f(x)在x 0处得到最小值，公式是“大小，小和大”，例4解：函数的定义域是，极值和最大值之间的关系：如果函数在闭区间A，B内是连续的，函数的最大值和最小值必须存在，函数的最大值和最小值可以在区间结束时得到。如果在间隔结束时没有获得最大值，则必须在开放区域(A，B)的极值点获得。(2)求(a，b)中f(x)的所有不动点和不可微点；(3)计算区间的点和端点处函数的函数值；(4)比较上述函数值，找出最大值和最小值，找出

6、A和B上的函数的最大值和最小值：例1，找出3和4上y2x33x212x14的最大值和最小值，求解： f(x) 2x 33x 212x 14，f (x)6x 26x126(x2)(x1)。因为f(3) 23，f(2) 34，f(1) 7，f(4) 142，有两种特殊情况：1。闭区间上单调函数的最大值必须在端点处得到。2.如果连续函数在一个区间内，其中只有一个最大(小)值，对于其他区间(包括无限区间)也是如此。并且没有最小(大)值，那么这个最大(小)值就是函数on的最大(小)值。例7求函数的最大值和最小值，因此上限单调下降。是最大值。是最小值。示例8找到函数并获得唯一的驻点，从而获得该点的最小值，而这个唯一的最小值是没有最大值。总结：3 .求函数极值