量子力学2讲.ppt

1、1,量子力学,光电子科学与工程学院 刘劲松,第二讲 波函数及其统计诠释 不确定度关系,2,平面波与傅里叶变换的回顾,只考虑空间，一维情况下，平面波为 = Aexp(i xk) 将f(x)用exp(i xk)展开，有 F(k)为f(x)的傅里叶变换 特别地，若 ，有,3,第2讲目录,一、量子力学讨论的对象：波函数 二、自由粒子的波函数 三、一般粒子的波函数及其物理意义 四、波函数的统计诠释及其性质 五、动量分布概率 六、测不准关系（不确定度关系）,4,一、量子力学讨论的对象：波函数,对于经典的粒子，其坐标 满足 对于经典的电磁波，其复振幅 满足 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子

2、所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程,5,自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E和动量 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为 =E/h，= h /p (1.1-1) 又因为波矢为 ，其中k=2/，因此，自由粒子的 和k都为常量。由(1.1-1)得到 (1.1-2),二、自由粒子的波函数（1）,6,二、自由粒子的波函数（2）,和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述 或 将(1.1-2)代入，得到 (1.1-3) 这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即,7,三、一般粒子的波函

3、数及其物理意义(1),当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用 这样简单的函数来描述，但总可以用某个波函数 来描述这个粒子的特性。 问题是，该如何理解波函数所代表的物理意义呢？,8,三、一般粒子的波函数及其物理意义(2),历史上对粒子波动性的认识有两种误解： (1)波包说，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。 (2)群体说，认为体现粒子波动性的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的结果。,9,三、一般粒子的波函数及其物理意义(3)

4、1、波包（1）,一维情况下，不考虑时间， 自由粒子的波函数为，,10,三、一般粒子的波函数及其物理意义(4)1、波包（2）,11,12,三、一般粒子的波函数及其物理意义(5)1、波包（3）,能量和动量的关系为， 利用 得到 这说明随着时间的推移，粒子将无限增大。显然物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。,13,三、一般粒子的波函数及其物理意义(6),对实物粒子的波动性有两种误解 （1）波包说: 认为粒子是一个物质波包； （2）群体说: 认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言， 弱电子密度长时间强电子密度短

5、时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。,14,三、一般粒子的波函数及其物理意义（7）2、概率波,粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以， 应该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。,15,四、波函数的统计诠释及其性质,表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。 表示点(x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。 这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件,16,四1、波函数的常数因子不定性,设C是一个常数，

6、则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。 如果 则有，,17,四2、波函数的相位不定性,如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。这是因为,18,四3、对波函数的要求,1、可积性 2、归一化 3、单值性，要求 4、连续性,19,五、动量分布概率（1）,设 ，则 表示粒子出现在点 附件的概率。 设 为粒子的动量，那么粒子具有动量 的概率如何表示？ 平面波的波函数为 任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开,20,五、动量分布概率（2）,其中， 可见， 代表 中含有平面波 的成分，因此， 应该代表粒子具有动量 的概率。,21,六、测不准关系(不确

7、定度关系)(1),经典粒子：可以同时具有确定的动量和空间位置，即 和 可以同时成立。 微观粒子： 和 不能同时成立。 例1：设一维自由粒子具有确定的动量 ， 即 ，其相应的波函数为平面波 故 且,22,例2：设一维粒子具有确定的位置 ，即 ，则其波函数为 相应的傅立叶变换为 故 ，即,六、测不准关系(不确定度关系)(2),23,六、测不准关系(不确定度关系)(3),平面波的波函数 能否归一？ 不能归一。,24,例3：有限长波列,六、测不准关系(不确定度关系)(4),25,严格证明表明，对一般粒子，有 物理意义：粒子的坐标和动量不可能同时被准确测量。或者说，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值。,六、测不准关系(不确定度关系)(5),26,测不准关系是微观粒子波粒二象性所带来的必然结果。这是因为，对波动而言，不能提