量子力学基础.ppt

1、第六篇 量子论,早期量子论,量子力学,相对论量子力学,普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论,德布罗意实物粒子波粒二象性 薛定谔方程 波恩的物质波统计解释 海森伯的测不准关系,狄拉克把量子力学与狭义相对论相结合,Ch20 量子力学基础,绪 言 一量子力学的研究领域和适用范围 量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核，基本粒子等）运动规律的理论，量子力学与相对论并列，被认为是近代物理学的两大理论支柱，它们在物理学中引起了深刻的变化，使20世纪的物理学彻底改观，量子力学应用越来越广泛：如材料科学，生命科学（DNA螺旋结构，有机生物分子）；半导体的掺杂，纳米技术，介观

2、物理特性；化学（量子化学）；电子技术（量子点、量子线、量子开关等）。,量子力学被应用于许多领域，按所应用的领域不同赋予不同的名称： 在基本粒子理论等基础领域量子电动力学； 处理分子、原子的电结构和化学键问题量子化学； 处理多粒子体系的聚集状态和运动的量子统计力学； 解析晶体中电子能量状态而产生出能带概念的，激光，脉泽固体量子论； 以电磁辐射问题为主要内容量子电子学。,量子力学有两大支柱： 一是画出能级图； 另一就是决定出几率分布状态。 这两个方面彼此相互补充以解决问题。,二学习量子力学的方法,（1）抽象：涉及到微观理论，没有与宏观相比拟的实物，看不见摸不着的东西，注意实验现象及结果。 （2）数

3、学应用多：用到许多数学知识，如傅里叶变换，厄密多项式，厄密算符，T函数，高斯公式，罗贝达法则等。希望我们在讲量子力学的基本知识时应用这些数学知识，不要有数学的包袱。,（3）我们尽量在每一部分讲课完后举一些当今物理或技术科学中有关量子力学应用的实例，以加深印象。 （4）量子力学主要有五个基本假设，需要溶汇贯通。这五个假设包含有海森堡的矩阵力学，薛定谔的波动力学和费曼的路径积分，波动力学和矩阵力学合并起来，成为传统的量子力学教材，而且两者是等价的。 本书内容属于前两者情况。目前要把量子力学引入到工科大学物理，有不少人注重把用路径积分表述量子力学。,一、玻尔（Bohr）简介,（18851962）丹麦

4、物理学家 1成就： 10.上学时才华出众、足球技艺高超，蜚声哥本哈根大学全校。 20.Bohr 的氢原子架起理论经典与近代桥梁，量子力学。 30.对应原理：经典行为与量子力学的关系。 40.互补原理：不确定关系，量子力学的哥本哈根解释(Copenhagen interpretation)。,Ch20.1 玻尔的氢原子模型,玻 尔,2爱国 1921年丹麦玻尔理论物理研究所成立，吸引一大批优秀年轻人，玻尔创立了哥本哈根学派，曾在Bohr物理所工作一个月以上的学者共有63人，来自17个国家，其中10人获诺贝尔奖。 这些人的工作：矩阵力学，泡利不相容原理，不确定关系，互补原理，量子力学哥本哈根解。 玻

5、尔的座右铭：“丹麦是我出生的地方，是我的家乡， 这里是我心中世界开始的地方”安徒生语。,3欣赏中国阴阳太极图互补原理 1937年玻尔来中国，设计其家族族微中心用的是阴阳太极图。,N.玻尔 研究原子结构，特别是研究从原子发出的辐射,1922诺贝尔物理学奖,阴阳太极图,4两伟人争论30年 Einstein和Bohr关于量子力学的不确定关系展开， 爱因斯坦认为量子力学理论的统计表现是由于这一理论所描述的物理体系还不完备，认为Bohr还未研究到根本，对微观粒子的动量位置，时间和能量同时进行准确测量这些都被Bohr否定，在争论中，Bohr写了两本著作：原子理论和对自然的描述，原子物理学和人类的知识。 友

6、谊长存，争论推动物理学发展，真理在辨论中形成。 真理是在争论中发展，敢于听取别人的意见！,5.Bohr因研究原子结构及原子辐射方面的工作而获1922年的诺贝尔物理学奖。,二、实验现象,研究H-atom发射的光谱，发现在可见光范畴有四条：,巴耳末总结为如下公式：,n=3，4，5 ，6,R=1.097107 1/m里德伯常数,在H-atom中还发现紫外和红外的分立光谱，他们分别可以用如下公式：,km k、m均为正整数，当k一定时，每一个m对应一条谱线，与所有m值对应的谱线合成一谱线系：,k=1，赖曼系m=2，3，4 紫外,k=2，巴尔末系m=3，4，5 可见光,k=3，帕形系m=4，5，6 红外,

7、对其它元素作光谱分析也得到分立谱线。,广义巴耳末公式,三、经典物理对H-atom分立谱线的解释 10.“原子坍缩”：按经典电磁理论，核结构的原子外，电子绕核旋转相当于一个振荡偶极子，要不断发射出电磁波，电子的能量不断下降，最后电子会落到核上，象卫星在大气中落入地球一样。可是事实并非如此，原子很稳定。 20.“连续光谱”：按经典电磁波，电子绕核旋转，能量减少应该连续，事实并非如此，谱线为线状光谱，原子发光的频率等于原子中电子运动的频率。 30.原子的同一性；地球、火星、星际间的原子，只要是同种元素其核外电子故相同，质量、大小都一样，光谱也一样，经典无法解释。,40.原子的再生性：用光照射atom

8、或轰击可改变原子的状态，但当外界抚动消除后，一切原子都立即恢复原来状态，仿佛什么都没发生，原子的这种再生性是卢瑟福模型无法解释的。,1. 定态(stationary state)假设原子系统只存在一系列不连续的能量状态，其电子只能在一些特殊的圆轨道中运动，在这些轨道中运动时不辐射电磁波。这些状态称为定态，相应的能量取不连续的量值 E1、E2、E3.。 2. 频率假设原子从一个定态跃迁(transition)到另一定态时，将辐射电磁波，电磁波的频率由下式决定:,四、玻尔理论的基本假设,3. 角动量量子化假设电子作圆轨道运动时，角动量只能取分立值：,由牛顿定律:,由角动量量子化假设:,从上两式中消

9、去v，得到第n个轨道的半径：,五、氢原子轨道半径和能量的计算,n=1,2,3 ,1、轨道量子化,玻尔半径（Bohr radius）,氢原子系统的能量等于这一带电系统的静电势能和电子的动能之和：,2、能量量子化,n=1,2,3 ,电子处于n=1的状态为基态，能量最低，n1的状态为激发态，能量逐高。,说明：,、式中En0，E=0，引力场中电势能为负，电子束缚在原子核的周围。,、n、En，绝对值， n=1基态(ground state)，n=2第一激发态(excitation state)n=3，第二激发态处于激发态的原子不稳定，能自发回基态，n能级m能级跃迁：,m=1，n=2，3，4赖曼系；m=2

10、，n=3，4，5巴尔末系；m=3，n=4，5，6帕刑系。 玻尔理论与实验符合得很好！,氢原子的能级图,赖曼系,巴耳末系,帕邢系,电离能：.当n时，En-En-10，能级效应较小，谱线为连续的，同时电子将脱离原子核，即电子被电离处于电离态，要把n=1的电子电离，需要能量13.6ev，电离能大于零。,3、速度量子化,v1=2.2106 m/s,例1 试计算氢原子中巴耳末系的最短波长 和最长波长各是多少？,解：,根据巴耳末系的波长公式，其最长波长应是n=3n=2跃迁的光子，即,最短波长应是n=n=2跃迁的光子，即,例2（1）将一个氢原子从基态激发到n=4的激发态需要多少能量？（2）处于n=4的激发态

11、的氢原子可发出多少条谱线？其中多少条可见光谱线，其光波波长各多少？,解：（1）,（2）在某一瞬时，一个氢原子只能发射与某一谱线相应的一定频率的一个光子，在一段时间内可以发出的谱线跃迁如图所示，共有6条谱线。,由图可知，可见光的谱线为 n=4和n=3跃迁到n=2的两条,4、类氢原子的量子化,类氢原子：一价的He+，二次电离的Li2+，三次电离的Be3+（铍）。 内层电子 + 原子核 = 原子实 原子实 + 一个电子 = 类氢原子 由氢原子的规律可知，设类氢原子的原子序数为Z，则：,类氢原子的能级、轨道半径、速率量子化条件：,二、玻尔理论的缺陷,1. 把电子看作是一经典粒子，推导中应用了牛顿定律，

12、使用了轨道的概念， 所以玻尔理论不是彻底的量子论。,2.角动量量子化的假设以及电子在稳定轨道上运动时不辐射电磁波的是十分生硬的。,3. 无法解释光谱线的精细结构。,4. 不能预言光谱线的强度。,例1、按照玻尔理论，电子绕核作圆周运动时，电子的动量矩L的可能值为: （A）任意值 （B）nh，n=1，2，3， （C）2nh，n=1，2，3,（D）, D ,例2、由氢原子理论知，当大量氢原子处于n=3的激发态时，原子跃迁将发出： （A）一种波长的光 （B）两种波长的光 （C）三种波长的光 （D）连续光谱, C ,例3、氢原子光谱的巴耳末系中波长最小的谱线用1,表示，最大波长用2表示，则它们的比值1/

13、2为： （A）5/9 （B）4/9 （C）7/9 （D）2/9, A ,解：,例4、玻尔的原子理论中提出的关于 ，和 的假设在现代的量子力学理论中仍然是两个重要的基本概念。,6、按照玻尔理论，移去处于基态的He+中的电子所需能量为 eV。,解：He+类氢原子（核外电子+原子实）,能量量子化,轨道量子化,例5 计算氢原子中的电子从量子数n 的状态跃迁 到量子数 k=n-1 的状态时所发谱线的频率。试证明当n很大时，这个频率等于电子在量子数n 的圆轨道上绕转的频率。,解 按玻尔频率公式有,当 很大时,绕转频率为:,在量子数很大的情况下，量子理论得到与经典理论一致的结果，这是一个普遍原则，称为对应原

14、理。,可见 的值和 很大时 的值相同。,绕转频率为,玻尔的氢原子理论,1914 年弗兰克 赫兹从实验上证实了原子存在分立的能级，1925 年他们因此而获物理学诺贝尔奖 .,管内充满低压汞蒸汽，电子从加热的灯丝F发射，在加速电压U0作用下电子被加速，向栅极G运动，在GP之间加反向电压Ur (0.5V左右)，电子穿过栅极G到达P，在电路中可看出电流IP。,在起始阶段，IP随U0而增加，当IP达到峰值后，随U0增加，IP急剧下降，然后IP又随U0增加，出现第一个波谷，此后，又出现第二个峰值与第二个波谷。,实验结果,解释,基态能量E1，第一激发态E2， 第二激发态E3，电子能量Ek 当EkE2-E1，

15、电子不能使汞原子激发，电子与原子间为弹性碰撞，所以随U0的增加Ip增加； 当Ek E2-E1汞原子从基态跃迁到激发态，电子与原子为非弹性碰撞，电子动能损耗，出现第一波谷； 第二波谷：电子两次与汞原子相碰的结果。,当汞原子从第一激发态跃迁到基态,实验中观察 到该谱线,结论,原子中分立能级确实是存在的。,三、量子力学的发展简史,1、旧量子论 为了解释黑体辐射，普朗克在1900年提出量子假说； 1905年爱因斯坦提出光电效应的光量子； 1913年玻尔在解释氢原子结构时提出了原子结构理论的量子化； 这些理论是经典与近代物理的混合物，完全没有脱离旧经典物理的束缚，故叫旧量子论。,2 新量子论 起源于19

16、23年德布罗意(de Broglie)提出的物质波（matter wave）的波粒二象性(wave-particle dualism)概念； 1925年海森堡(W.K.Heisenberg)提出的矩阵力学(matrix mechanics) ； 1926年薛定谔(E.Schrdinger)提出的波函数及波动力学(wave mechanics) ； 波恩提出的波函数的统计解释； 后来薛定谔和狄拉克(Dirac)证明了矩阵力学和波动力学是等价的，合并为量子力学； 19261930年，狄拉克对量子力学作了全面的总结，发展了相对论量子力学，量子力学就建立发展起来了。,四、波粒二象性对物理学概念的发展,

17、波粒二象性概念的产生和发展对物理学的影响是多方面的。 对波粒二象性(wave-particle duality)概念的研究，使得人们建立起了一种关于微观世界物质运动规律的理论量子力学，更重要的是，波粒二象性概念成为量子力学中的主导概念，决定了量子力学的基本发展方向和基本的思维模式。 量子力学是一门全新的理论，与经典物理比较有许多新的概念，虽然这些概念多是借用于经典物理，但在量子力学中已有了很大的变化；而且在量子力学的方法论方面也有所转变。,1、位置概念的发展 在经典物理中位置用坐标和轨道来描写，在量子力学中位置不再具有绝对的意义。粒子的坐标和轨道这些决定论性的概念在量子力学中的波函数（wave

18、 function）及几率密度所代替。 我们只能说在空间某一点发现粒子的几率是多大，而不能说在空间某一点发现了粒子。于是几率密度的概念被引进量子力学，这就是所谓的统计诠释。,2、相互作用概念的发展 在经典物理中，虽然也使用“相互作用”，但是它毕竞没有“力”简单直观，力就代表相互作用，理论上虽然“力”与“相互作用”等价，但在实际使用上，“力”确实比“相互作用”用得更多。 在量子力学中由于物体的“位置”不确切，“力”的概念就不适用了，而“相互作用”的概念却显示出它适用范围上的优越性，例如在量子力学中，有“系统之间的相互作用，“量子态之间的相互作用”等。相互作用与对称性有密切的关系。 杨振宁提出“对

19、称性支配相互作用”的原理。,3、运动定律的变化 牛顿力学三定律是经典力学的基本定律。这三个定律再加上能量守恒定律就可以推演出经典力学的主要框架，这三个定律的中心概念是“力”，力的概念在量子力学中已被更广泛的“相互作用”所取代，因此，牛顿三定律的形式也不能在量子力学中再现，取而代之的是薛定谔方程(Schrodinger equation)。薛定谔方程也叫波动方程，它是量子力学的最重要方程。,4、守恒律与对称性 不论在经典力学还是在量子力学中，守恒律与对称性有着密切的关系。经典力学中有三大守恒律：能量守恒，动量守恒和角动量守恒。 与经典力学不同的是，量子力学给出了更多的守恒量。守恒律与对称性的关系

20、用Noether定理的方式给出。Noether定理指出：有一个对称性，就对应产生一个守恒定律。 对称性理论（对称性的思想、概念、原理、方法、对称性与守恒定律、对称与破缺等）是随着物理学及量子力学本身的发展而成为量子力学中的一项重要内容的。,5、力学量与算符 量子力学中引入力学量的算符是经典力学不成有的。实物粒子具有波粒二象性，测不准原理制约着实物粒子的位置和动量，用波函数仅能求出粒子在空间某点和某一时刻的几率。 引入力学量的算符后，如果体系的波函数一旦确定就可以用算符求出力学量的平均值； 如果该算符是线性厄米的，还可得知该力学量的平均值一定是实数； 与经典力学对应的能量、动量、角动量等物理量到

21、底可以取哪些实数值？取值的概率=？引入算符就可用算符本征值、本征函数等作确切的回答。,6物理学方法论的转变 由经典物理到现代物理，形象思维和逻辑思维在物理学方法论中所占的比重也发生了显著的变化。在现代物理学中形象思维的比重增加了，而逻辑思维的比重降低了。,一. 德布罗意波,德布罗意波在光的二象性的启发下，提出了实物粒子（如电子、质子等）也具有波-粒二象性的假设。,德布罗意,L.V.德布罗意 电子波动性的理论研究,1929诺贝尔物理学奖,1光子具有波粒二象性,2实物粒子具有波粒二象性,考虑相对论情况：,当vc，Ekm0c2，,3估计德的大小 求动能为100ev的电子和质量为0.01kg的子弹以速

22、度为400m/s运动时的德。,可见电子的德为1010m(A0)，与x射线波长相当；而对子弹来说，这宏观粒子的动量P=m0vh，故德0，体现出粒子性。,物质波的实验验证,1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。,C.J.戴维孙 通过实验发现晶体对电子的衍射作用,1937诺贝尔物理学奖,实验装置,实验结果,晶格常数为,散射平面间距,波程差：,加强的条件：,波程差计算图,与X射线在晶体上衍射时的布拉格公式相同。,动量：,相应的德布罗意波长：,对镍来说， 。把 和 值代入布拉格公式上式得：,极大值出现在 的方向，与实验符合的很好。,电子经加速电势差为 的电场加速后，,电子通过

23、金多晶薄膜的衍射实验。,（汤姆逊1927）,自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止质量是否为零，都具有波粒二象性。,30年代以后，实验发现， 中子、质子、中性原子都具有衍射现象。,电子显微镜,当加速电场很大时,电子的德布罗意波长可以比可见光波长短得多, 因此利用电子波代替可见光制成的电子显微镜能具有极高的分辨本领。,有的书上用下面公式：,2dsin=k,按x射线入射到晶面，满足布喇格公式：,2dsin=k,反射角，d晶面间距，他们安排=650，U=54V,镍的晶面间距：d = 9.11011m = 0.91A0，则由上式：2=1.65A0,1=2，实验与理论符合得很好！ 证明了物质波的正确性，

24、同样可证实原子、分子、中子、质子的波动性，可见实物粒子具有波粒二象性。,三、测不准关系,W.海森堡 创立量子力学，并导致氢的同素异形的发现,1932诺贝尔物理学奖,1927年海森伯（W.Heisenberg）分析了几个理想实验后提出了不确定度关系。,在电子衍射花样中两个一级极小值之间都有电子分布。一级极小值位置和缝宽 之间的关系为:,海森伯,海森伯坐标和动量的不确定度关系式。,考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，,经严格证明此式应改写为：,落在中央明纹范围内的电子，其 介于0与 之间,测不准关系式的理解,1. 用经典物理学量动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制 。,3. 对于微

25、观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均时间t 之间也有下面的测不准关系：,2. 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。,原子处于激发态的平均寿命一般为,这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。,于是激发态能级的宽度为：,三维空间：,能量与时间的不确定关系：,在原子光谱谱线的激发态上原子有一个平均寿命时间，说明能级有一个宽度。,动量与坐标的不确定关系：,所以坐标及动量可以同时确定,1. 宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？,电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。,2. 微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？,四. 波函数及其统计意义,得到描写自由粒

26、子的平面波波函数：,利用关系,用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。,机械波,或,德布罗意波的统计解释,1926年，德国物理学玻恩 (Born , 1882-1972) 提出了概率波，认为个别微观粒子在何处出现有一定的偶然性，但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律。,M.玻恩 对量子力学的基础研究，特别是量子力学中波函数的统计解释,1954诺贝尔物理学奖,物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明,物质波的强度大,光强度大,光波振幅平方大,（波动观点）,光子在该处出现 的概率大,（微粒观点）,波函数振幅的平方大,单个粒子在该处出现的概

27、率大,（波动观点）,（微粒观点）,波函数,称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。,及单值、连续、有限等标准化条件,归一化条件,波函数还须满足：,波函数,在空间一很小区域(以体积元 表征)出现粒子的概率为：,物质波与经典波的本质区别,经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。,可测量，具有物理意义,1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义， 一般是不可测量的。,2、物质波是概率波。,等价,对于经典波,试求：（1）常数 A； （2）粒子在0到 a/2区域出现的概率； （3）粒子在何处出现的概率最大？,例 作一微运动的粒子被束缚在0xa的范围内。 已知其波函数为,解:（1）

28、由归一化条件得:,（2）粒子的概率密度为:,在0xa/2区域内，粒子出现的概率为：,（3）概率最大的位置应满足,因0xa/2,解：利用归一化条件,例：求波函数归一化常数和概率密度。,这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程,对于非相对论粒子,一维自由粒子的波函数,五、薛定谔方程,在外力场中粒子的总能量为：,一维薛定谔方程,三维薛定谔方程,拉普拉斯算符,哈密顿量算符,薛定谔方程,如势能函数不是时间的函数,代入薛定谔方程得：,用分离变量法将波函数写为：,粒子在空间出现的几率密度,几率密度与时间无关，波函数描述的是定态,定态薛定谔方程,粒子在一维势场中,E.薛定谔 量子力学的广泛发展,1933诺贝尔物

29、理学奖,15-7 薛定谔在几个一维问题中的应用,一、一维无限深势阱,金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动,势能函数为：,对区：,通解为,方程的通解为：,波函数连续,对区：,粒子的能量,一 维 无 限 深 势 阱 中的粒 子,相对于原点是对称的，称为正宇称或偶宇称。,相对于原点是反对称的，称为负宇称或奇宇称。,二、隧道效应,光波能透过界面进入空气达数个波长的深度（渗透深度）。,电子的隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。,电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。,区薛定谔方程为：, 区薛定谔方程为：, 区薛定谔方程为：,区粒子进入区的概率为,势垒越宽透过的概率越小， (V0-E)越大透过的

30、概率越小。,样品表面,隧道电流,扫描探针,计算机,放大器,样品,探针,运动控制系统,显示器,扫描隧道显微镜示意图,48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.,三、一维谐振子,粒子的势能函数,薛定谔方程,15-8 量子力学对氢原子的应用,氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量是电子质量的1837倍，可近似认为质子静止，电子受质子库仑电场作用而绕核运动。,电子势能函数,电子的定态薛定谔方程为,由于氢原子中心力场是球对称的，采用球坐标处理。,定态薛定谔方程为：,用分离变量求解，令,代入方程可得：,上式可分解为两个方程：,氢原子只能处于一些分立的状态，可用三个量子数描写：,1、主量子数n,决定着氢原子的能量,2、角量子数l,角动量大小,3、磁量子数ml,角动量空间取向量子化,15-9 斯特恩盖拉赫实验,证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。 即角动量在空间的取向是量子化的。,1、电子的轨道磁矩,电子磁矩大小,电子的角动量,电子在有心力场中运动，角动量守恒,角动量在外磁场方向（取为z轴正向）的投影,磁矩在z轴的投影,载流线圈在外磁场中受力矩作用,力矩作功,相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）,磁场在z方向不均匀，载流线圈在z方向受力,结论：原子射线束通过不均匀磁场， 原子磁矩在磁力作用下偏转。,1921年，斯特恩（