工程力学讲义 - 山东工业职业学院.ppt

1、第九章,平面弯曲,弯曲的概念,弯曲变形是指杆的轴线由直线变成曲线，以弯曲变形为主的杆件称为梁。 梁的受力特点是在轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的外力的作用。,弯曲变形,平面弯曲,如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内完成一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。,梁的截面形状 梁的平面弯曲,梁的简化,简支梁 一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座,外伸梁 一端或两端伸出支座之外的简支梁,悬臂梁 一端为固定端，另一端为自由端的梁,弯曲梁的内力,剪力FQ,采用截面法,弯矩M,梁内力的正负号规定,从梁的变形角度,剪力：顺时针为正，逆时针为负 弯矩：上凹为正，

2、下凹为负,例题1求弯曲内力,已知简支梁受均布载荷q作用，梁的跨度为L，求梁的1-1、2-2截面的内力。,续例1,解：求解约束反力,由于载荷支座均对称， 所以,FA=FB=qL/2,续例1,1-1截面：,符号均为正,续例1,2-2截面：,符号为正,剪力和弯矩方程概念,如图，取任一截面m-m，距离A端x 则m-m截面内力为,剪力方程,弯矩方程,(0 xL),(0 xL),剪力图画法,据剪力方程和弯矩方程可画内力图,剪力方程,A点：x=0，FQA=qL/2 中点：x=L/2，FQ=0 B点：x=L，FQB=-qL/2,弯矩图画法,弯矩方程,A点：x=0，MA=0 中点：x=L/2，M=qL2/8 B

3、点：x=L，MB=0,剪力、弯矩图,M、FQ与q的关系,设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），通过分析可得到剪力、弯矩与载荷集度的关系。,M、FQ与q的关系,取x处一小段dx长度梁 由平衡方程得： Fy=0： FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0 MC=0： M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0 在上式中略去高阶微量后， 得,M、FQ与q的关系,使用关系式画FQ、M图,例题2画剪力图和弯矩图,已知外伸梁，M=3kN.m，q=3kN/m，a=2m,解：,求A、B处支反力,FAy=3.5kN；,FBy=14.5KN,续例2剪力图,如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC

4、= FAY CB：q0,FQB=-8.5kN BD：q0,FQB=6kN,续例2弯矩图,AC：q=0,FQC0,直线,MC=7KN.M CB：q0,抛物线,FQ=0,MB=6.04KN.m BD：q0,开口向下，MB=-6kN.m,续例2剪力图和弯矩图,从图上可以很清楚地 看出三者之间的微分 关系,例题,例题3 画出简支梁受集中力作用的剪力图和弯矩图 例题4 画出简支梁受集中力偶作用的剪力图和弯矩图 例题5 画出悬臂梁受均布载荷和集中力作用的剪力图和弯矩图 例题6 画出简支梁受均布载荷作用的剪力图和弯矩图,典型例题-1,已知：G,a,b,l,画梁AB内力图,解：1求A,B支座反力( a+b=l

5、 ),2求x截面内力 a) 0xa,b) axl,典型例题-1(续),根据以上条件，画出剪力图、弯矩图 最大剪力Qmax在AC(ba)（或CB,ab）段 Qmax=Gb/l 最大弯矩在C截面处 Mmax=Gab/l,本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即： FQ=FQ(x)Mc=M(x),典型例题-2,简支梁受力偶作用,求支座反力FAY,FBY得： FAY=- FBY =M/l,AC段X截面处剪力FQ=Fay, 同理可求得BC段剪力与AC段相同，剪力图如左,AC段弯矩方程M1 M1=FAYx=M x /L,BC段弯矩方程M2 M2=F

6、AY x-M=M(x - L)/L,典型例题-3,悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图,写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程,剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在B点，且,小 结,1.平面弯曲的概念 2.剪力和弯矩符号的规定 3.利用三者的微分关系画内力图,弯曲应力和梁的变形,弯曲梁正应力,弯曲正应力公式 弯曲梁截面的最大正应力 惯性矩的平行轴定理 平行轴定理应用举例1 平行轴定理应用举例2 弯曲正应力计算 习题15-14p271 作业,平面弯曲,横力弯曲,纯弯曲,剪力FQ0,弯矩M 0,剪力FQ=0,弯矩M 0,纯弯曲：,平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，

7、只是绕截面上的某轴转动了一个角度,一 弯曲正应力公式,纯弯曲正应力公式推导：,如上图1、2得纵向变形：,根据胡克定律，可知：,由图3得：,几何关系,物理关系,即,对照以上各式，得：,其中：Iz为截面对z轴的惯性矩,二、弯曲梁截面的最大正应力,由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正应力应该在其上下边缘：即|y|的最大值处.,引入弯曲截面系数Wz=Iz/ymax，最大正应力公式为：,惯性矩计算：,A 定义式：,B 积分式：,矩形截面Iz的计算： 如图,三、惯性矩的平行轴定理,由惯性矩的定义式可知：,组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和,即：,Iz=Iz1+Iz2+Izn=I

8、zi,设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b),如图，则其对坐标轴的惯性矩为：,对于z轴的惯性矩：,对于y轴的惯性矩：,平行轴定理应用举例1,工字形截面梁尺寸如图，求截面对z轴的惯性矩。,解：,可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：,Iz=Iz1+Iz2+Iz3,（-）,（+）,（+）,1,2,3,Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4),平行轴定理应用举例2,求图示截面对z轴的惯性矩,解：,截面可分解成如图组合， A1=300 x30=9000mm2 A2=50 x270=13500mm2 yc1=-75-15=-90mm

9、yc2=135-75=60mm,A1、A2两截面对其型心轴的惯性矩为： I1cz=300 x303/12=0.675x106mm4 I2cz=50 x2703/12=82.0125x106mm4,由平行轴定理得： I1z= I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4 I2z= I2cz+yc22A2= 82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4 Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,A1,A2,弯曲正应力计算 习题14p271,已知：A=40MPa(拉),y1=10mm; y

10、2=8mm; y3=30mm 求：1) B, D ；2) max(拉）,解：A=40MPa(拉),y1=10mm;,由公式：,由于A点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：,最大拉应力在上半部边缘,四、弯曲梁的切应力,总第17讲,横力弯曲时，梁的横截面上切应力分布。,横力弯曲时，梁的横截面上切应力计算公式,如图所示，已知6120柴油机活塞销的外径D=45mm，内径d=28mm，活塞销上的载荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，连杆作用力F=88.4kN。求活塞销的最大正应力和最大切应力。,解：,活塞销所受的载荷简化为均布载荷，其均布集度为,剪力图如例15-1

11、1 b） FQmax=44.2kN,弯矩图如例15-11 c) Mmax=1.18kN.m,(continue),已知活塞销截面为薄壁圆环，那么：,活塞销的最大正应力为弯矩最大处，即销子中心点：,由切应力近似计算公式可以得出，活塞销的最大切应力为：,五、弯曲梁的变形,梁弯曲变形的概念,挠度-梁的横截面形心在垂直雨量轴线方向的位移称为挠度，用w表示。 正负规定：图示坐标中上正下负,转角-梁的横截面相对于变形前后初始位置转过的角度，用表示。 正负规定：逆时针为正，反之为负,挠曲线-梁在弹性范围弯曲变形后，其轴线变成一条光滑连续曲线，称为挠曲线，其表示式为,转角与挠度w的关系,如图所示： tan =

12、dw(x)/dx=w 即：横截面的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率,w=w(x),积分法求梁的变形,积分法求梁的变形,挠曲线公式简单推导,由前可知：,而在数学中有：,略去高阶无穷小，得到：,挠曲线近似微分方程,积分后：,式中的积分常数C、D由梁的边界条件和连续条件确定,积分法求梁的变形举例,习题15-20，q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求max，wmax；,解：,求A,B支座反力,FA=FB=ql/2=8kN,写出梁的弯矩方程（如图b)：,M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2,EIzw=M(x)=q(l-x)x/2-(1),积分后得到:,CONTINUE,F

13、INE,边界条件：x=0, w=0；D=0； x=l , w=0；C=-ql3/24,由（1）可知： max 为 M(x)=0的点；即 x=0 和 x=l 处（A,B端点） max=Amax=Bmax=C/(EIzz)=(ql3)/(24EIzz) w=qx(l3+x32lx2)/(24EIz)； w=0；x=l/2；w x=l=5ql4/(384EIz),叠加法求梁的变形,叠加法 当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个独立载荷作用时变形的叠加。,理论基础 （略）参见教材P261,常见简单载荷作用下梁的变形 教材P261。,叠加法求梁的变形举例,用叠加法求图示梁B截面的转角和C截面的挠度,叠加结

14、果为,查表,六、弯曲梁的强度计算,梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应力，故有：,和,对于等截面梁，可以写成：,对于脆性梁，其抗拉、抗压性能不等时，应分别予以设计。,通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。,弯曲正应力,图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力30MPa，许用压应力60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。,分析： 1、画出梁的弯矩图（确定最大弯矩及其所在截面） 2、求出梁的最大拉应力和最大压应力值 3、校核强度,解： 1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5

15、kN，画出弯矩图如 b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即： C点为上压下拉，而B点为上拉下压,FA,FB,2、求出B截面最大应力,最大拉应力（上边缘）：,最大压应力（下边缘）：,3、求出C截面最大应力,最大拉应力（下边缘）：,最大压应力（上边缘）：,由计算可见： 最大拉应力在C点且Cmax=28.83MPa=30MPa 最大压应力在B点且Bmax=46.13MPa60MPa 故梁强度足够,简支梁AB如图所示，已知： =160MPa，=100MPa，a=0.2m，l=2m，F=200kN， 试选择工字钢型号。,解：1、计算梁的约束力FA、FB;,由于机构对称，所以FA=FB=210kN,2、画出梁的剪力图 可以看出FQmax=FA=FB=210kN,3、画出梁的弯矩图，其最大弯