椭圆的定义及标准方程(姗).ppt

1、2.1.1椭圆的定义与标准方程,通河县第一中学：张立姗,你能列举几个生活 中见过的椭圆形状 的物品吗？,“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空,自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?,（1）取一条细绳 （2）把它的两端固定在板上的两点F1和F2 （3）用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图形什么？,一、画椭圆,二、基础知识讲解,定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。,1.椭圆定义：,F1,F2,M,平面上到两个定点的距离的和等于定长2a,（ 2a大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。,结论：绳长

2、记为2a，两定点间的距离记为2c(c0). （1）当2a2c时，轨迹是 ； （2）当2a=2c时，轨迹是 ； （3）当2a2c时， ；,椭圆,以F1、 F2为端点的线段,无轨迹,F1,F2,M, 探讨建立平面直角坐标系的方案,方案一,(对称、“简洁”),2、求椭圆的方程,求曲线方程的步骤建系、设点、列式、化简,求曲线方程的步骤有哪些？,O,x,y,F1,F2,M,如图所示:F1、F2为两定点，且 |F1F2|=2c，求平面内到两定点 F1、F2距离之和为定值2a(2a2c) 的动点M的轨迹方程。,解：以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系，,(-c,0),(c

3、,0),(x,y),设M ( x, y )为所求轨迹上的任意一点，,则椭圆就是集合P=M|MF1|+ |MF2|=2a,如何化简?,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。,O,x,y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),2a2c0，即ac0，a2-c20，,(ab0),两边同除以a2(a2-c2)得:,P,那么式,如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点,你能在图中找出 表示a，c， ， 的线段吗？,O,x,y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),(ab0),P,那么式,你能在图中找出 表示

4、a，c， ， 的线段吗？,令,叫做椭圆的标准方程。,它所表示的椭圆是焦点在x轴上， 焦点是 ，中心在坐标原点 的椭圆方程 ,其中,.,p,0,也是椭圆的标准方程。,如果椭圆的焦点在y轴上，如图所示,焦点则变成,只要将方程中的 x,y 调换，即可得,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),定 义,共同点（1）两种标准方程中都有ab0； （2）方程的左边是平方和，右边是1. （3）焦点在坐标轴上，中心在坐标原点,不同点;焦点在分母较大的那个轴上,哪个分母大，它对应的分子就是焦点所在轴,应用举例,用定义判断下列动点M的轨

5、迹是否为椭圆。,(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。,(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。,(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。,解 (1)因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。,(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。,(3)因|MF1|+|MF2|=3|F1F2|=3，故点M的轨迹不成图形。,则a ，b ；,则a ，b ；,5,3,4,6,口答：,则a ，b ；,则a ，b ,3,4,三、例题分析,5,4,3,6,x,例

6、1.已知椭圆方程为 , 则(1)a= , b= , c= ; (2)焦点在 轴上,其焦点坐标为 , 焦距为 。 (3)若椭圆方程为 , 其焦点坐标为 .,(0,3)、(0,-3),(-3,0)、(3,0),例1.已知椭圆方程为 ,F1,F2,C,D,(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6， 则点P到右焦点的距离是 ； (5)若CD为过左焦点F1的弦， F2CD的周长为 。,4,16,20,则CF1F2的周长为 ，,椭圆 上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一焦点F2的距离是 _,(3)标准方程为 a= 8, b=2，c=2,焦点在y轴，焦点(0，-2)、(0，2)，焦距为4,a

7、=10,练习 1,判断下列椭圆的焦点位置， 并求出焦点坐标和焦距,(2)a=5,b=3,c=4, 焦点在y轴，焦点(0，-4)、(0，4)，焦距为8,(1)a=10,b=8,c=6,焦点在x轴，焦点(-6，0)、(6，0)，焦距为12；,14,|PF1|+|PF2|=2a=20=6+_,14,(4),（6）课堂小结,1 、椭圆的定义及焦点，焦距的概念；,2、椭圆的标准方程：,（1）当焦点在x轴上时，,（2）当焦点在y轴上时，,3、椭圆标准方程中的a, b ,c 的关系：,4、如何由椭圆的标准方程判断焦点的位置：,课本习题.组第题,作业：,谢谢指导！,1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：,（1）

8、两个焦点的坐标分别是（4，0）、（4，0）， 椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；,变式：两个焦点的距离等于8，椭圆上的一点P到两焦 点距离的和等于10.,2.方程 表示的曲线是椭圆，求k的取值范围.,变式： （1）方程 表示焦点在y轴上的椭圆，求k的 取值范围. （2）方程 表示焦点坐标为（2，0）的椭圆， 求k的值.,k0且k5/4,k5/4,k1/4,例2：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点（ , - ），求它的标准方程。,解：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,所以,又因为c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6.,因此，所求

9、的椭圆的标准方程为,只要求出a、b则可求出椭圆的方程,焦点在哪条坐标轴上？,由已知得，c=2,又由已知得，,联立、解方程组得,因此，所求椭圆的标准方程为,例2：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点（ , - )，求它的标准方程。,解法二：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为,写出适合下列条件的椭圆的 标准方程： (1)a=4，b=1，焦点在x轴上； (2)a=4，c=5，焦点在y轴上； (3)a+b=10，c=2 5,练习 2,判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，并指明a2、b2，写出焦点坐标。,答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）,答：在 y 轴。（0，-5

10、）和（0，5）,答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）,例.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上 每一点到两焦点距离的和。,解：椭圆方程具有形式,其中,因此,两焦点坐标为,椭圆上每一点到两焦点的距离之和为,例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则 F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,F1,F2,C,D,例题讲解,典例分析,例1 判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。,（1）y轴 （0,1） （0,-1）,（2）x轴,例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,（1）两个焦点的坐标分别是（4，0）、（4，0）， 椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；,变式：两个焦点的距离等于8，椭圆上的一点P到两焦 点距离的和等于10.,(2)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c