第九章 动量定理.ppt

1、第二节 质点系动量定理,第三节 质心运动定理,第一节 质点动量定理,第九章 动量定理,在前面一章讨论的是质点动力学基本方程，而从本章起将讨论的是动力学普遍定理。它包括质点与质点系的动量定理、质心运动定理、质点与质点系的动量矩定理、质点与质点系的动能定理等。,本章主要讨论： (1)动量与冲量 (2)质点和质点系的动量定理 (3)质心运动定理, 质点动量定理的微分形式,由质点动力学基本方程，有,表明质点动量的变化率等于作用在质点上的合力，此即为质点的动量定理。,第一节 质点动量定理, 质点动量定理的积分形式,上式表明，在任一段时间内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同一段时间的冲量。这就是质点

2、动量定理的积分形式，又称为质点的冲量定理。,（94）,称为力 （时间的函数）在时间间隔（ ）内的冲量。冲量是矢量，它的运算按矢量运算法则进行，亦即，在任一段时间内，合力的冲量等于各个分力的冲量的矢量和，单位 。,（95）, 质点动量守恒,若作用于质点上的力为零， ，则有 ，则质点动量保持不变。若 ，则有 。,（93）在直角坐标轴上的投影形式为,将质点系中每个质点的动量定理相加，有,因内力为零，即,故,第二节 质点系的动量定理,上式称为质点系动量定理的微分形式，即质点系的动量（主矢） 对时间的导数，等于作用于该质点上所有力的主矢 。,投影在直角坐标轴上有,（98）,将（97）改成,质点系动量的微

3、分等于质点系所受外力系的动量的矢量和。,积分后有：,上述即为质点系动量定理的积分形式，又称冲量定理。即，质点系动量在某时间间隔内的改变量，等于各质点系所受全部外力在同一时间间隔内动量的矢量和。,上式表明：在某一时间间隔内，质点系动量在任一固定轴上投影的改变量，等于作用于质点系的外力动量在同轴上投影的代数和。,易用动量定理解决的问题有：流体流过弯曲管道、射流对障碍物表面的压力及碰撞问题等。,【解 】,其方向：,【解】,它们在撞击过程中相互作用力是内力，作用在系统上的外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外，无其它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的动量在水平轴x方向是守恒的。

4、,（1）以机车和车辆为研究对象。,（2）以机车为研究对象，如图（b）所示。,由此的动量S的大小为：,从而求得平均撞击力为：, 质量中心,组成质点系各质点的质量及其在空间位置是不同的，表征质点系的各质点的质量及其位置分布情况的一个几何点称为质量中心，简称质心。,确定质心位置的方法与重心类似,（911）,第三节 质心运动定理,而其坐标公式：,（912）,质心和重心是两个不同的概念，质心是质点系质量中心，质心只取决于质量的分布情况，与质点系所受力无关。质心和重心只有在重力场中才重合为一个点。,投影在直角坐标轴上：,（a）,（b）,（c）,（d）, 质心运动定理,对式（913）求导数：,（913）,（

5、914）,又由质点系动量定理，式（97）改写为：,则,（915）,上式称为质心运动定理。即，质点系的总质量与质心加速度的乘积等于质点所受外力的矢量和。,对于刚体或刚体系统，由于刚体的质心位置容易确定，故用式（916）求解问题比较方便。,式（916）投影形式为,（917）, 质心运动守恒定理,由 ，若 ，则 ， 常矢量。,即，若作用于质点系的外力系主矢恒等于零，则质心作惯性运动，若质心的初始速度也等于零， ，则 常矢量。即质心位置静止。,若 ，则 ， 常数，即质心在x轴上守恒，又若v0在x轴上投影也为零，则 常数，质心在 x轴方向静止。,上述的质心运动守恒和质心位置守恒，通常称为质心运动守恒定理

6、。,例9-4 在静止的小船中间站着两个人，其中m150kg，面向船首方向走动1.5m。另一个人m260kg，面向船尾方向走动0.5m。若船重M150kg，求船的位移。水的阻力不计。,把坐标原点放在船的质心的初始位置,设当经过t时刻后，船向右移动x，则：,即,例9-5 质量为 m 的物块 A 放在光滑的水平面上，如图。若摆长为l，质量不计，摆锤B 质量为m，且摆动 = 0sint， 、 0为常数。设运动开始时质心速度为零，求物块A的运动方程。,或 （2）,因有,（3）,将（3）代入（2）有：,（4）,（4）式即为物块A 的运动方程,本题也可用质点系动量在x轴方向守恒,（5）,（6）,将（6）式积

7、分有：,（7）,又 ，代入（7）式得 ，由此存在,例9-6 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均 为m，OA 杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R， 轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA的角速度为，则整 个系统的动量为多少？,【解】 方向水平向左。因为按图示机构，系统可分成3个物块：OA、AB和轮B。首先需找出每个物块的质心速度：,OA作定轴转动，其质心速度在图示瞬时只有水平分量，方向水平向左。,轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速度方向恒为水平，在图示瞬时 ，方向水平向左。,所以,所以,方向水平向。,例9-7 如图所示，均质杆OA，长2l ,重为

8、P，绕O 轴在铅垂面内转动。杆与水平线成角时，其角速度和角加速度分别为和，求该瞬时轴O 的约束反力。,由质心运动定理得：,得：,解得：,本题约束反力也可表示为切向力和法向反力，读者可自己进行求解。,例9-8 如图所示，均质杆AB长为 ，铅垂地立在光滑得水平面上，求它从铅垂位置无初速度地倒下时，端点A得轨迹。,【解】AB杆初始静止，且有,即沿x轴方向质心位置应守恒，质心C始终在y轴上，A点的坐标可表示为：,消去 ，得：,即A点的轨迹为椭圆。,1.选择题,D,C,【思考题】,C,C,（4）将质量为m的质点，以速度 v 铅直上抛，试计算质 点从开始上抛至再回到原处的过程中质点动量的改 变量。 （ ）,2.如