理论力学12-3-d9d.ppt

1、理论力学 B,北京理工大学宇航学院力学系 韩斌,( 12-3-d9d),33/II,2,9.4 质点系对固定点的动量矩定理,1. 质点对固定点的动量矩定理,质点对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的合力对同一点的矩。,(9-47),设质量为 的质点D对固定点O的矢径为 ，作用其上的合力为 , 速度为 :,3,2. 质点系对固定点的动量矩定理,(9-48),(9-49),质点系对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的外力系对同一点的主矩。,内力成对!,4,质点系对某一固定轴Oz的动量矩对时间的一阶导数 等于作用于其上的外力系对同一轴的矩。,式(9-49)为一矢量式，它可

2、以向过点O的某一固定坐标轴（如z轴）上投影：,(9-50),5,若质点系作平面运动，O点为平面内一点， 也可取为代数量：,均以逆时针转动为正,质点系对固定点O的动量矩定理,(9-49),6,对动点的动量矩定理不同于对定点的动量矩定理, 其形式复杂，右端还存在第二项!,1.质点系对动点A的动量矩定理的一般表达式,(9-14),由质点系对动点A的绝对动量矩表达式：,两边同时求绝对导数：,7,利用两点动量矩关系,对时间求导：,再利用两点主矩关系和质心运动定理,8,可推出质点系对动点的动量矩定理的两种形式：,对动点的动量矩定理不同于对定点的动量矩定理,其形式复杂，右端存在第二项!,9,质点系对动点的动

3、量矩定理的两种形式(9-52), (9-53)只有在特例情形下才有比较简单的形式：,（1）取动点A为质点系的质心C,质点系对质心C的动量矩定理,10,(2)当动点A的加速度 时,即A为加速度瞬心P*时,有：,(9-55),实际上，此时固连于加速度瞬心P* 的平移动系也为一惯性系(P*点在该惯性系中则成为一固定点),11,(4)当动点A的加速度矢量与AC连线平行时,也可有简单形式的相对动量矩定理：,(3)当动点A的速度矢量与质心C的速度矢量平行时,也可有简单形式的绝对动量矩定理：,思考：在力 作用下纯滚动的圆轮,12,如果动点是任意选定的，动点的速度 和加速度 一般未知，故对动点的动量矩定理的一

4、般形式(9-52)和(9-53)不便应用，故经常使用的是质点系对固定点及对质心的动量矩定理(9-49),(9-54)。,13,质点系动量矩定理的两种最常用的简洁形式,14,3. 在质量对称面内作平面运动的单个刚体，动量矩定理表达式的简化形式,若所研究的质点系为具有质量对称面的单个刚体，作用了与质量对称面重合的平面力系，在其质量对称面内作平面运动。,设A为刚体(或延拓部分)上某动点,则该刚体对A点的相对动量矩为,(9-56),为刚体对Az轴的转动惯量，是一个常数； 为该刚体运动的角速度。,为该刚体的角加速度。,由对动点的相对动量矩定理：,15,下面研究式(9-57)的几种特殊情形：,(9-58)

5、,(2)若点A取为刚体的质心C , 则有：,(9-59),(3)若在某一瞬时，点A为该刚体的速度瞬心P，则有：,(9-60),(9-57),(1)若点A固定不动, 则 , 刚体绕A轴作定轴转动,有：,比较(1)和(3)两种情形：定轴转动和瞬时定轴转动,16,式(9-58)与式(9-60)的形式不同，反映了定轴转动(9-58)与瞬时定轴转动(9-60)的差别。,但若在不同瞬时,平面运动刚体的速度瞬心P与刚体质心C的距离 恒等于某一常数 ，则 ，,求导得 ，根据平面运动刚体的两点加速度关系：,(9-61),(9-60),(9-58),对固定点O,对速度瞬心P,一般地说， ， ， 也不与 平行， 所

6、以 故一般,17,将上式沿图示 轴(其正向与 相同)投影得到,(9-62),因PC与 轴垂直，说明 ， 于是(9-60)为：,当平面运动刚体的速度瞬心P与刚体质心C的距离恒保持不变时，平面运动刚体对速度瞬心的动量矩定理才具有定轴转动的动量矩定理或对质心的动量矩定理同样简单的形式。,(9-61),18,例如：均质圆盘沿水平地面或固定不动曲面作平面纯滚动；均质直杆的两端分别沿在同一平面内相互垂直的两条固定直线运动，刚体的速度瞬心与其质心的距离恒保持不变。,这两个例子均可用:,19,有质量对称面的单个一般平面运动刚体的动量矩定理 :,为刚体运动的角加速度。,20,在动力学中，将一般平面运动刚体的基点

7、选在质心，根据质心运动定理和对质心的动量矩定理，建立平面运动刚体的运动微分方程，形式最简单，且不易出错。,动力学,质心运动定理,对质心的动量矩定理,求解刚体平面运动问题的基本方程：,21,9.6 质点系的动量矩守恒定律,22,动量矩定理应用的实例,1),23,2),24,3)跳水运动员的空中转体， 花样滑冰运动员的旋转,25,机械能守恒,动量守恒,质心运动守恒,动量矩守恒,小结：利用三大基本定理求解动力学问题,1. 首先判断系统是否满足某个守恒定律,动量守恒和动量矩守恒常用于求解开始时，判断系统中某刚体的运动状态,26,例如：(1)一质量为m的均质直杆，从图示水平位置由静止自由下落，问下落过程

8、中该杆作何种运动？,答：杆保持水平沿铅垂方向直线平移,(2)一质量为m的均质直杆，从图示位置由静止自由下落，问下落过程中该杆作何种运动？,答：杆保持原倾斜方位沿铅垂方向直线平移,27,(3)一质量为m的非均质直杆，从图示水平位置由静止自由下落，问下落过程中该杆作何种运动？,(4)两质量为m的均质直杆，焊接为直角折杆，从图示位置由静止自由下落，问下落过程中折杆作何种运动？,答：折杆保持原倾斜方位沿铅垂方向直线平移,答：杆保持原倾斜方位沿铅垂方向直线平移,28,(5)两长度为 l 质量为m的均质直杆铰接，二杆呈直角从图示位置由静止释放，若1)地面光滑;2)地面粗糙(已知摩擦因数fs)，问释放后各杆作何种运动？,1)若地面光滑:二杆分别作一般平面运动！,2)若地面粗糙，已知摩擦因数fs：,可假定A点不打滑(此时AB杆绕A定轴转动!)求解出约束力后,检查A点