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一些求曲率半径的特殊方法xypQ如图2-4-51先看椭圆曲线,要求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两种方法:(1)将椭圆看成是半径R=A(设AB)的圆在平面上的投影,圆平面和平面的夹角满足关系式(如图2-4-5)设一个质点以速率v在圆上做匀速圆周运动,则向心加速度,从上图中可以看出,当顶点的投影在椭圆的长轴(x轴)上的P点时,其速率和加速度分别为: , 当质点的投影在椭圆的短轴(y轴)上的Q点时,其速率和加速度分别为: 。因此椭圆曲线在P、Q的曲率半径分别为:QPABxy图2-4-6 (2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成,可以把椭圆的参数方程(设AB)(如图2-4-6) 可改写为 即可进一步写出x,y二个方程的速度v和加速度a:那么在长轴端点P处()的曲率半径:在短轴端点Q处()的曲率半径xy图2-4-72再看抛物线y=Ax,要求其任意一点的曲率半径(如图2-4-7)因为抛物线可以写作参数方程其中,这样就可以导出 对任意一个t值: v=a=acos=a所以这一点的曲率半径将t=代入,可得 因为,所以抛物线y=Ax上任意一点的曲率半径
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