线性代数复习纲要要.ppt

1、第一章教学要求：,1了解行列式的概念，掌握行列式的性质。,2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。,3理解克莱姆法则及其应用。,下页,n阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法： 1利用行列式的性质化为三角形行列式计 算法 2. 降阶展开法,行列式的计算,下页,第二章教学要求：,1理解矩阵的概念。,2了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称 矩阵，以及它们的性质。,3掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律， 了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。,4理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的 充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴

2、随矩阵求矩阵的逆。,5掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。,6了解分块矩阵及其运算。,下页,第三章教学要求：,1了解n维向量的概念。,2理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关 向量组线性相关、线性无关的重要结论。,3了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩。,4 了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系。,重要结论2,重要结论1,下页,1理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非 齐次线性方程组有解的充分必要条件。,2理解

3、齐次线性方程组的基础解系、通解的概念及 求法。,3理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。,4掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方法。,第四章 线性方程组,第四章教学要求：,下页,Ax=b,r(A)=r(A,b)=n 有唯一解,r(A) r(A,b)无解,齐次方程的基础解系,克拉默法则，,r(A)=r(A,b)n 有无穷多解,初等变换，,非齐次方程的一个特解,非齐次方程的通解,b=0 b0,下页,求解齐次线性方程组流程图,下页,系数矩阵A,阶梯形矩阵B,r(A)=n,唯一零解,行最简形矩阵C,确定自由未知量及约 束未知量,给出一般解,求出基础解系,写出通解,初等行变换,初 等 行 变

4、换,Y,N,初等 行变换,确定方程组的约束未知量和自由未知量方法示意图,下页,对应的变量为约束未知量(r个),对应的变量为自由未知量(n-r个）,求解非齐次线性方程组流程图,下页,增广矩阵(Ab),阶梯形矩阵B,r(Ab)=r(A),方程组无解,行最简形矩阵C,确定自由未知量及约 束未知量,给出一般解,求AX=o的基础解系,写出通解,初等行变换,N,Y,r(Ab)=n,唯一解,初等行变换,Y,N,求AX=b的一个特解,第四章教学要求：,1理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。,2了解相似矩阵的概念、性质及掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件。,3掌握用相似变换化实对

5、称矩阵为对角矩阵的方法。,结论,4了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特正交化方法。向量的单位化等。,下页,5掌握二次型 及其矩阵表示，了解二次型秩的概念， 了解二次型秩的标准形、规范形的概念，了解正、负 惯性指标（数）。,6会判定二次型和对应矩阵的正定性等。,第四章教学要求：,下页,判别n元实二次型正定的充要条件是：,1）A是正定矩阵,2）f 的正惯性指数为 n,3）f 的 规范形为,4）f 的 标准形,下页,7）实对称矩阵A的n个特征值 全大于零。,8) n 阶实对称矩阵A正定的充要条件是A的各阶顺序主子式都大于零。,下页,下页,下页,下页,向量组 a1 , a2 , am

6、线性无关，而添加 形成的向量组 a1 , a2 , am , 线性相关， 则 可由 a1 , a2 , am 线性表示，且表示唯一。,结论1结束,下页,设向量组 a1，a2， ，ar 线性无关，且可由b1，b2， ，bs 线性表示，则有rs.,计算问题,1）怎样求矩阵 A 的秩？- 行、列,则 秩（A） 行阶梯形矩阵中非零行的行数,最常用,下页,2）怎样求向量组 的秩？ - 行、列, 以向量组 中各向量作为列向量， 构成矩阵 A ； 求出矩阵 A 的秩，也即原向量组的秩,下页,3）怎样判断向量组 的相(无)关性？ - 行、列,下页,4）怎样求向量组 的一个极大无关组？ - 行, 以向量组 中各

7、向量作为列向量， 构成矩阵 A ； 则 B 中各非零行的首列对应的 A 的部分向 量组就为 向量组 的极大线性无关组。,下页,5）怎样利用 4) 中求出的极大无关组表示其余向量？ - 行, 求出向量组 的极大无关组； (2)行阶梯形矩阵B 行最简形矩阵C 根据行最简形矩阵列向量的分量，用极大无关组表示其余向量.,下页,（行）初等变换,记忆方法： 三种矩阵 初等变换行作为 求秩无关中见 线性表示作陪,下页,“关于矩阵的秩”,怎样的情况下矩阵的秩不变？,初等变换不改变矩阵的秩,矩阵运算对秩的影响？, r ( A+（）B ) r ( A) + r (B) ; r ( AB ) min r ( A ) ，r ( B ) .,行秩列秩矩阵的秩,下页,方阵的秩与行列式的关系,设A是 n 阶方阵,返回,下页,(2) 方阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关.,(3) 设 是 n 阶方阵 A 的一个 k 重特征值，则 A 的属于特征值 的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数不多于