中学数学竞赛讲义——平面向量

1、中学数学竞赛讲义平面矢量一、基础知识定义1大小和方向的量都称为向量。 画画的时候用有向线段表示，线段的长度表示矢量的类型。 向量符号可以通过在两个大写字母上加箭头或在一个小写字母上加箭头来表示。 在此，向量用黑体表示，例如a. |a|表示向量的模型，将模型为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。 零向量与零不同，模为1的向量称为单位向量。定义两个方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量)，零向量与任何非零向量平行地定义联合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形规律。 加法和减法都满足交换律和结合律。定理2非零向量a、b共线的充分条件是实数0存在以使a=f定理3

2、平面向量的基本定理是，如果平面内的向量a、b不是共线，则将同一平面内的任意方向设为c，存在一对实数x、y以使c=xa yb。 在此，a、b称为一组基底。定义3向量的坐标在正交坐标系中，以与x轴、y轴方向相同的2个单位向量I，j为基底，采用任意的向量c，根据定理3得知存在唯一的实数x，y，如果c=xi yi，则将(x，y )称为c坐标。关于定义4向量的数积，如果非零向量a、b的夹角为，则将a、b的数积标记为ab=|a|b|cos=|a|b|cos，也称为内积，其中|b|cos称为b定理4如果平面向量的坐标运算： a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，一、a-b=(x1-x2、y1 y2)、a-

3、b=(x1-x2、y1-y2)，2.a=(x1、y1)、a(b c)=ab ac，三、3.ab=x1x2 y1y2、cos(a、b)=(a、b0)，4. a/bx1y2=x2y1，abx1x2 y1y2=0。如果定义5点p与直线P1P2上的p1、p2不同，则存在唯一的实数，将称为p分之比，如果o是平面内的任意点。 由此，如果P1、p、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x，y )、(x2，y2)的话定义6f为坐标平面内的一个图形，f上的所有点在向量a=(h，k )的方向上以|a|=个单位得到图形的过程称为平移。 设p(x，y )为f上的任意点，与上平移对应的点为平移式。定理5任意向量a=(x1，

4、y1)，b=(x2，y2)，|ab|a|b|，然后|ab|a|b|b|.证明： a|2|b|2-| ab|02=-(x1x2y1y2)2=(x1y2- x2y1) 20，且|ab|。数据库/数据库。从向量的三角形定律和直线段的最短定理得到|a b|a| |b|。注：本定理两个结论都可以推广。 对于n维向量，类似地，a=(x1，x2，xn )，b=(y1，y2，yn )。数据库/数据库。从向量的三角形定律和直线段的最短定理得到|a b|a| |b|。注：本定理两个结论都可以推广。 对于n维向量，类似地，a=(x1，x2，xn )，b=(y1，y2，yn )。2 )对于任意n个矢量，a1、a2、a

5、n、| a1、a2、an| a1|a2|.| an |。二、方向和例题1 .矢量定义和算法的运用。以例1o为正n边形A1A2An的中心，求出证据。如果是【证明】，因为使正n边形绕中心o旋转与原来的正n边形重合，不变，这是不可能的例2给出ABC，求证据： g是ABC重心的充要条件【证明】必要性。 如图所示，若将各边中点分别设为d、e、f，以DP=GD的方式从AD延长到p因为BC和GP相互平分因为BPCG是平行四边形所以是BGPC所以充分性。 如果将AG交叉BC延长至d、设GP=AG并连结CP，则由于是GBCP，所以AG将BC等分。同样，BG将CA平分。所以g是重心。在凸出四边形ABCD中，p和q

6、分别是对角线BD与AC的中点，从而获得AB2 BC2 CD2 DA2=AC2 BD2 4PQ2。如图所示，将BQ、QD结合。因为所以=再说为什么同样可从、获得的双曲馀弦值。 取得证据。2 .使用证明定理2证明共线。例4 ABC的外心为o，垂心为h，重心为g。 求证： o、g、h是共线，OG:GH=1:2。【证明】首先=接着，将BO交外接圆设为别的点e，连接CE得到CE因为又是AHBC所以是AH/CE。另外，因为是EAAB、CHAB，所以AHCE是平行四边形。所以所以所以所以共线，所以o，g，h和共线。OG:GH=1:23 .用数量乘积证明垂直。例5求得给出的非零向量a、b .证据：|a b|=

7、|a-b|的充分条件是ab。证明：|ab|=|a-b|(ab )2=(a-b )2a2abb2=a2-2abb2ab=0ab。例如，已知ABC内接于？o，AB=AC，d为AB中点，e为ACD重心。 征求证据： OECD。【证明】设置然后，又来了所以a (b-c ).(|从| a|2=|b|2=|c|2=|oh|2开始)另外，因为AB=AC，OB=OC，所以OA是BC的中垂线。所以a(b-c)=0.所以OECD4 .向量的坐标运算。已知四边形ABCD的正方形、BE/AC、AC=CE、EC的延长线正交BA的延长线位于点f，求出AF=AE。如图所示，以CD所在的直线为x轴、c为原点制作正交坐标系，设

8、正方形的边的长度为1，则a、b坐标分别为(-1，1 )和(0，1 )，e点的坐标为(x，y )此外，x2 y2=2。从、开始解所以的双曲馀弦值。 由和共线得到所以，即f，所以=4，所以AF=AE。三、基础训练问题1 .以下命题中正确的是： a/b的充放电条件是|a|=|b|，而且是a/b。 (ab)c=(ac)b； 如果ab=ac，则b=c； 如果a、b不是共线，则xa yb=ma nb的满足条件是x=m，y=n。 且a、b为共线，a、b、c、d为共线a=(8，1，1 ) b=(-3，4 )的投影为-4。2 .已知正六边形ABCDEF， ； ； 和，相等的东西是。如果知道a=y-x、b=2x-

9、y、|a|=|b|=1、ab=0，则成为|x|y|=_ .4 .设s、t为非零实数，a、b为单位向量，|sa tb|=|ta-sb|，a和b的夹角为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。5 .在已知a、b不共线、=a kb、=la b的情况下，“kl-1=0”是“m、n、p共线”的在ABC中，m是AC的中点，n是AB的三等分点，如果BM和CN相交于d，那么=_ _ _ _ _ _ _。7 .已知不共线，点c的分之比为2的话，则8 .当已知=b、ab=|a-b|=2、AOB的面积最大时，a和b的夹角为9 .如果将函数y=2x2-4x 5的图像按向量a进行移位，则得到y=2x2的图像

10、，其中，c=(1，-1)，并且如果cb=4，则b的坐标变为10 .将向量a=(2，1 )绕原点反时针修正旋转得到向量b时，b的坐标为11 .在rtBAC中，可知BC=a，长度2a的线段PQ以点a为中点时，和的夹角取怎样的值时的值最大。 求这个最大值。在四边形ABCD中，如果ab=bc=cd=da，则尝试判定四边形ABCD的形状。四、高考水平的训练问题1 .点o是平面上的一点，a、b、c是该平面上的不共线的三个点，如果动点p满足，则点p的轨迹必定通过ABC的_心。2 .如果是ABC且是ab0，则abc的形状为.3 .关于非零向量，假设关于点b所在的直线对称的点为B1，则为4.o是ABC的中心，而

11、ABC的形状是5 .设o点为ABC内部，AOB与AOC的面积比为_。6.P是ABC所在平面上的一个点，如果p是ABC的_中心。7 .如果已知，|的可取值范围是。已知a=(2，1 )，b=(，1 )，如果a和b的夹角是锐角，则的可取值的范围是在ABC中，o是中线AM上的一个动作点，如果AM=2，则的最小值为10 .已知的集合m= a|a=(1，2 )(3，4 )、R、集合N=a|a=(-2，-2)11 .设g为ABO的重心，通过g的直线、边OA和OB分别与p和q交叉，OAB和OPQ的面积分别为s和t，求出(y=f(x )的解析式和定义域的(2)能够求出的值的范围。已知12.2点m (-1，0，0

12、 )、n (1，0 )，有公差小于零的等差数列。(1)点p的轨迹是什么？ (2)以与点p的坐标为(x0，y0)所成的角度，求出tan。五、联赛考试水平的训练问题1 .在正交坐标系内，o为原点，点a、b坐标分别为(1，0 )、(0，2 )，当满足实数p、q时，点c、d分别位于x轴、y轴上，且直线CD过于恒定2.p为ABC内心，角a、b、c的对边的长度分别为：如果a、b、c. O是平面内的任意点，则为=_ (用a已知平面上的3个向量a、b、c都是单位向量，两者所成的角度为1200，如果|ka b c|1(kR )，则k取值的范围是4 .如果满足平面内的四个点a、b、c和d，则下一个可能的值为已知A

13、1A2A3A4A5为半径r的内切正五边形，p在o上的任意点，取值的集合为6.O是abc所在平面内的一个点，a、b、c是abc的角，并且点o是abc的7 .对于非零向量a和b，“|a|=|b|”是“(a b)(a-b )”的_ _ _ _ _ _ _ _ .在abc中，如果(cb):(ba):(ac)=1:2:3，则为abc的三边的长度之比|a|:|b|。9 .已知p为ABC中的一个点，并且CP将d交给AB以获得证据。已知HBC的垂心为h、HBC、HCA、HAB的外心分别为O1、O2、O3，请求证据： (1)2p=b c-a； (2)H是O1O2O3的外心。已知，来自v的变换量t由T(x)=-x

14、 2(xa)a(xV )定义，其中，v是坐标平面上所有向量的集合，并且a=(a1，a2)是v中的一个单位向量。(1)对于v的任意两个向量x，y，求出证据： T(x)T(y)=xy。对于(2)v的任意向量x，计算TT(x)-x。设u=(1，0 )。 如果，求a六、联赛二级考试训练问题1 .可知，a、b是2条定直线AX、BY上的定点，p和r是放射线AX上的2点，q和s是放射线BY上的2点，定比，m、n、t分别是线段AB、PQ、RS上的点，另外的定比。 证明你的结论。2 .已知ac、CE是正六边形的ABCDEF的两条对角线，点m、n分别内分ac、CE，AM:AC=CN:CE=r，如果b、m、n的三点是共线，则求r。3 .在矩形ABCD的外接圆的弧AB上，与顶点a、b不同的点m、点p、q、r、s分别取向m的直线AD、AB、BC、CD的投影，求证明：直线PQ和RS相互垂直。在ABC内，将d及e设为BC的三等分点，将d设为b与f之间，将f设为AC的中点，将g设为AB的中点，将h设为线段EG与DF的交点，求出比EH:HG。5 .是否存在四个平面向量，两条非共线？ 其中任意2个向量之和与其侑预2个向量之和垂直吗6 .已