二次函数复习课件.ppt

1、第一课时,二次函数复习,创作：章冬梅,1.复习二次函数的定义,练习： 1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5x，y=3x-2x+5,其中是二次函数的有_个。,一般地，如果 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a0)，那么，y叫做x的二次函数。,(1)a0. (2)最高次数为2. (3)代数式一定是整式,2,定义要点：,1.函数 （其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时， （1）它是二次函数； （2）它是一次函数； （3）它是正比例函数；,当 时，是二次函数；,当 时，是一次函数；,当 时，是正比例函数；,考考你,2.函数 当m取何值时，,（1）它是二次函数？ （2）它

2、是反比例函数？,（1）若是二次函数，则 且 当 时，是二次函数。,（2）若是反比例函数，则 且 当 时，是反比例函数。,3.当m=_时,函数y=(m-1) - 2+1 是二 次函数？,考考你,例1：二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_ 对称轴是_。,画二次函数的大致图象: 画对称轴 确定顶点 确定与y轴的交点 确定与x轴的交点 确定与y轴交点关于对称轴对称的点 连线,(0,-6),(-2,0),(3,0),(1,-6),怎样画二次函数的图象,(0,-6),(-2,0),(3,0),(1,-6),增减性:,当 时,y随x的增大而减小 当 时,y随x的增大而增大,最值:,当 时,y有最 值,

3、是,小,函数值y的正负性:,当 时,y0 当 时,y=0 当 时,y0,x3,x=-2或x=3,-2x3,例1：二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_ 对称轴是_。,数形结合研究图象性质,2.复习二次函数的图象及性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,a0,开口向上,a0,开口向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,(0,c),(0,

4、c),2、二次函数 图象的顶点坐标和对称轴方程为（） A、（1，-2）， x1 B、（1，2)，x1 C、（-1，-2），x-1 D、（-1，2），x-1,D,A,1、抛物线 的对称轴及顶点坐标分别是（ ） A、y轴，（，-4） B、x，（，） C、x轴，（，）D、y轴，（，）,考考你,例1.函数 的开口方向_， 顶点是_,对称轴是_, 当x 时, y随x的增大而减小。 当x 时, y有最为 .,向上,小,数形结合研究图象性质,巩固练习:,1、填空： （1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_对称轴是_。,x=-2,(-2，-1),0,巩固练习:,1、填空： （4）抛物线y=-2x2+4

5、x与x轴的交点坐标是_ （5）已知函数y=x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是_ （6）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= _。,1,2,（0，0）（2，0）,x1,2,(7)已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在 x轴上,则c=.,16,2.选择 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2 (2)抛物线y=3x2-1的_ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点 (3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B

6、(4,0), 则对称轴是_ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3 (4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_ A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2,c,B,C,A,巩固练习:,例2.已知抛物线 yx-mx+m-1. (1)若抛物线经过坐标系原点，则m_； (2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m_； (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m_; (4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_.,= 1,1,= 2,= 0,数形结合研究图象性质,例3.不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a0） 的值永远

7、为正的条件是_,a0, b-4ac0,例4、求抛物线 与y轴的交点坐标; 与x轴的两个交点间的距离. x取何值时，y0?,-3,1,6,(-1,8),-1,数形结合研究图象性质,例5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1

8、)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.,小结:一般地,抛物线 y = ax2与y = a(x-h)2+k形状相同, 位置不同。,数形结合研究图象性质,教材P101页牛刀小试第1、2、3题,课后作业,教材P100页实战运用第1题,第二课时,二次函数复习,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点,b2 4ac 0,b2 4ac= 0,b2 4ac 0,若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则,b2 4ac,0,3.二次函数与一元二次方程的关系,与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）,有两个不

9、同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个 交点,有两个相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,与x轴没有 交点,没有实数根,b2-4ac0,基础练习:,1.不与x轴相交的抛物线是( ) A y=2x2 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 3x D y=-2(x+1)2 - 3,2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a0,c0时,图象与x轴交点情况是( ) A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D不能确定,D,C,考考你,例 (1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有 两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有_个交点

10、.,1,1,(2)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是_.,（-2、0）（5/3、0）,应用新知,(1) 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),小结,（2） 抛物线Y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标是（X1,0)(X2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为X1,X2,韦达定理:X1+X2=-b/a X1X2=c/a,2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两

11、个交点(x1,0)、 (x2,0),或者已知方程ax2+bx+c=0的两根为x1, x2,则通常设解析式为_,1、已知抛物线上的任意三点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),4.求抛物线解析式的三种方法,一般式： y=ax2+bx+c,两根式： y=a(x-x1)(x-x2),顶点式： y=a(x-h)2+k,解：,设所求的二次函数为y=ax2+bx+c,由条件得：,a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7,解方程得：,因此：所求二次函数是：,a=2, b=-3, c=5,y=2x2-3x+5,例

12、1.已知一个二次函数的图象过点（1,10）、 （1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？,例题精讲,4.求抛物线解析式的三种方法,例题精讲,解：,设所求的二次函数为y=a(x1)2-3,由条件得：,例2.已知抛物线的顶点为（1，3），与轴交点为（0，5）求抛物线的解析式？,点( 0,-5 )在抛物线上,a-3=-5, 得a=-2,故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3,即：y=2x2-4x5,一般式： y=ax2+bx+c,两根式： y=a(x-x1)(x-x2),顶点式： y=a(x-h)2+k,4.求抛物线解析式的三种方法,解：,设所求的二次函数为y=a(x1)(x1）,由条件

13、得：,例3.已知抛物线与X轴交于A（1，0）,B（1,0）并经过点M（0,1）,求抛物线的解析式？,点M( 0,1 )在抛物线上,所以：a(0+1)(0-1)=1,得： a=-1,故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1),即：y=x2+1,一般式： y=ax2+bx+c,两根式： y=a(x-x1)(x-x2),顶点式： y=a(x-h)2+k,例题精讲,4.求抛物线解析式的三种方法,练习1 根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；,(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；,(3)、图象经过(0，0)， (1

14、2，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。,1、选择合适的方法，求下列二次函数的解析式。,（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个交点的横坐标是8。,（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。,能力训练,（3）抛物线的最大值为4，方程ax2+bx+c=0的两根为0或2。,课堂小结,求二次函数解析式的一般方法：,已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式,已知图象的顶点坐标、对称轴和最值， 通常选择顶点式,已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2， 通常选择两根式,确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，,教材P101页牛刀小试第4题,课后

15、作业,教材P100页实战运用第3题,教材P116页第16题,1、一个二次函数，当自变量x= -3时，函数值y=2；当自变量x= -1时，函数值y= -1；当自变量x=1时，函数值y= 3，求这个二次函数的解析式？ 2、已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是 、 ，与Y轴交点的纵坐标是-3 ， 求这个抛物线的解析式？,教材P114页牛刀小试第2、4、5题,第三课时,二次函数复习,5. a，b，c ， 符号的确定,a决定开口方向：a时开口向上， a时开口向下,a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b时对称轴是y轴,c决定抛物线与y轴的交点：c时抛物线交

16、于y轴的正半轴 c时抛物线过原点 c时抛物线交于y轴的负半轴,决定抛物线与x轴的交点：时抛物线与x轴有两个交点 时抛物线与x轴有一个交点 时抛物线与x轴没有交点,(上正、下负）,(左同、右异),(上正、下负),= b2-4ac,、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为（） A、a0,c0 B、a0,c0 D、a0,b0,c0,2、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（） A、a0,b0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,c=0,3、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图 所示，则a、b、c 、 的符号为（

17、 ） A、a0,b=0,c0,0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0,b=0,c0,0,B,A,C,o,o,o,练习：,熟练掌握a，b， c，与抛物线图象的关系,(上正、下负）,(左同、右异),c,考考你,4.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况： a 0,b 0,c 0.,=,5.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点, 且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足 的条件是：a 0,b 0,c 0.,=,6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a0，b0，c0， 那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限,先根据题目的要求画出函数

18、的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）,四,练习：,考考你,-2,例1：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的几个特例： 1）、当x=1 时， 2）、当x=-1时， 3）、当x=2时， 4）、当x=-2时，,y=,y=,y=,y=,6）、2a+b 0.,o,1,-1,2,5）、b-4ac 0.,a+b+c,a-b+c,4a+2b+c,4a-2b+c,例2： 二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是_,1,-1,0,x,y,abc b 2a+b=0 ,开口方向:向上a0;向下a0;在y轴负半轴c0;唯一b2-4ac=0;没有b2-4ac0,a+b+

19、c由当x=1时的点的位置决定;a-b+c由当x=-1时的点的位置决定,已知二次函数的图象如图所示，下列结论： a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,D,x,-1,1,0,y,要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。,能力训练,例3:在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为,5.根据函数性质判定函数图象之间的位置关系,答案: B,1、如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab

20、0)的图象只可能是（ ）,能力训练,D,2、二次函数y=ax2+bx+c(a0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（）,C,能力训练,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x h )2,y = a( x h )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,6.抛物线的平移法则,结论:左加右减，上加下减,(0,0),(0,k),(h,0),(h,k),各种顶点式的二次函数的关系如下:,巩固练习: 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。 二次函数y=2x2的图象

21、先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。,下,3,右,3,左,1,上,2,考考你,例2: 若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.,分析:,(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0),(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线,答案:y=-x2+6x-5,应用新知,例1: 将 向左平移3个单位,再向下平移2个 单位后,所得的抛物线的关系式是_,1.将抛物线y=-3x2-1向上平移2个单位, 再向右平移 3个单位,

22、所得的抛物线的表达式为 ，,2.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2, 则b= ，c= ,-8,15,注意：顶点式中，上下，左右,考考你,巩固练习: （1）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.,y=x2-5x+6,考考你,归纳小结：,（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用; 注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函 数值y的取值范围,结论:左加右减，上加下减,(3)各种顶点式的二次函数的关系;,教材P103页实战运用第1、2题,课后作业,教材P100页实战运用第4题,第四课时,二

23、次函数复习,题型分析: (一)抛物线与x轴、y轴的交点所构成的面积 例1:填空： (1)抛物线yx23x2与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_； (2)抛物线y2x25x3与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_,(0,2),(1,0)和(2,0),(0,-3),例2:已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积。,(1)证明:=22-4(-8)=360,该抛物线与x轴一定有两个交点,(2)解:抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0,解方程得:x1=4, x2=-2,AB=4-(-2

24、)=6 而P点坐标是(1,-9),SABC=27,(一)抛物线与x轴、y轴的交点所构成的面积,例3、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x,(二)根据函数性质求函数解析式,例5：,已知二次函数y= x2+ x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求MAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y0？,(三)二次函数综合应用,例5：,已知二次函数y= x2 + x - （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y