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文档简介

1、1,第三节 矩阵的对角化,一矩阵的对角化的概念 二矩阵的对角化判别与计算,2,一矩阵的对角化的概念,若n 阶方阵A 与对角阵,相似，则称 A 可对角化,若A 可对角化，则Am就比较容易计算了,问题：,如何判别一个方阵是否可对角化？若,能够对角化，如何找可逆矩阵P？,定义：,3,二.矩阵可对角化的判别与计算,A可对角化 A,存在可逆矩阵,使得, A有n个线性无关的特征向量,4,由上面的讨论可得矩阵A可对角化的充要条件 .,定理1：,n 阶方阵A可对角化A 有n 个线性,无关的特征向量,上述定理告诉我们，找可逆矩阵P，使得,为对角阵，关键是找出A的n个线性,无关的特征向量满足,此时令,则,5,是齐

2、次线性方程组,不同的特征值，,是否仍线性无关？,的一个基础解系，,它们是A的线性无关的特征向量，,我们自然会想：,把这m组向量合在一起，即,问题：,如何判断数域P上的n阶矩阵A有没有n个,线性无关的特征向量？,6,定理2：,证：,线性无关,于 线性无关的特征向量，则,设,两边左乘A得,7,式两边乘以 得,以上两式相减得,从而有,8,代入式得,线性无关,从而,9,数域P上n 阶矩阵A的属于不同特征值,对于A的不同的特征值的个数作归纳，可得到,定理3：,是A的属于 的,不同的特征值，,线性无关,线性无关的特征向量， 则向量组,推论1：,的特征向量线性无关。,10,从定理3可得出如下结论：,是齐次线

3、性方程组,不同的特征值，,一定线性无关,的一个基础解系，,则A的特征向量组,11, 若,的特征向量，从而A不可以对角化；,则A没有n个线性无关, 若,特征向量，从而A可以对角化；此时令,则A有n个线性无关的,则P为n 阶可逆矩阵，且,12,称为 的相似标准型,注：除了主对角线元素排列次序外，A 的相似,标准型是被 A 唯一确定的。,特别地，,推论2：,数域P上n 阶矩阵A若有n个互异的特,征值，则A 可对角化。,13,例1 已知,问A 是否可对角化，,若可以，求可逆矩阵P ，使得 为对角阵,解：,A 有两个互异的特征值，故可对角化, 求矩阵A的特征值.,14,求A 的特征向量,的一个基础解系是

4、,对于,求得齐次线性方程组,的一个基础解系是,对于,求得齐次线性方程组,15,线性无关，令, P 可逆，且,16,例2 设,(书P168例5. 3. 1),判断A是否可对角化，若可对角化，,求可逆矩阵P ，使得 为对角阵,解：, 求A 的特征值,17,一个基础解系为,求A 的特征向量,对于,求得齐次线性方程组,一个基础解系为,对于,求得齐次线性方程组,18,因为3阶矩阵 A 有3个线性无关的特征向量，,故A可对角化., 构造可逆矩阵P,令,19,则,或者, 令,则,20, 令, 令,则,则,21,例3 判断,(书P169例5.3.2),对,解：,为A 的特征值,对于,因为A 只有一个线性无关的特征向量, 故,A不能对角化.,22,例4 设二阶方阵A满足,其中,解：,求,是A的

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