五年级奥数第3讲 质数与合数.pptx

1、,五年级奥数竞赛课本,在线课堂,上册,第3讲,质数与合数,数论专题第3讲,知识精讲,什么是质数？ 每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况，6=23，8=24=222，12=26=34=223，.这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数，而像2，3，7，.这样不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数，如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是“拆得开”的数。,拆,知识精讲,严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其他整数整除的数。注意，1既不是质

2、数也不是合数。 我们先来看一下关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两位质数。 （填写在横线上）,质数说：1不是我这儿的！,合数说：1也不是我这儿的！,知识精讲,相信对100以内的质数较熟悉的同学做上面的题目会很轻松，质数是我们后面学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数，请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数.,知识精讲,100内质数表,（1）所有质数中只有2是偶数，其他全部是奇数。 （2）100内的质数一共有25个，10以内的质数只有4个：2、3、5、7。20以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19。100内最大的质数

3、是97。 （3）所有10以上质数的个位数只有4种可能性：1、3、7、9。 （4）1既不是质数，也不是合数。,知识精讲,同学们还可以这样做，从大到小，写出100以内的质数。如果你能一个不少的写出来，说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了，当然同学们写出的，这些质数只是质数大军中的冰山一角，在100以上，还有无穷多个质数，比如接着100的就有四个质数，101，103，107，109.,例题一： 下面是主试委员会为第六届华杯赛写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌。 将诗中56个字，从第一行左

4、边第一个字起，逐行逐字编为156号，再将号码中的质数小到大找出来，将它们对应的汉字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话。 【分析】156中的质数有哪些？请把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这句话就出来了。,哇，有意思！,例题一： 解析：156的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53.一共16个。然后就是找出对应编号的字了。 2 3 5 7 11 13 17 19 23 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 29 31 37 41 43 47 53 九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮

5、丽歌。 这样连起来就是： 少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山。,质数表是关键,练习一： 自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？,这实际就是找10以内的质数嘛！,练习一： 解析： N （ 都是一位数的质数！） （2、3、5、7）,知道N的数位上的数只能是2、3、5、7，并且个位只能是3和7。 依次枚举即可： 23 27 33 37 53 57 73 77 所以：只有23、37、53、73这4个数符号条件。,例题二： （1）如果两个不同质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出。 （2）如果两个不同质数相加等于25，那么这两个质

6、数的乘积可能是多少？请全部写出。 （3）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出。 【分析】对于第1小题依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数，那么后两小题中的质数可以都是奇数吗？,质数和是奇是偶？,例题二： 解析：所有质数除了2以外都是奇数，所以两个质数和为奇数，其中必有2；没有2的情况下两个质数和必为偶数。多个数和的分析也参考两个数和的奇偶性。 （1）和为26，偶数，所以不考虑2，在26内的质数中找，发现 3+23（），5+21（），7+19（），11+15（），13+13（） 计算两组符合条件的乘积：69、133. （2）和为25，奇数，所以其中一

7、个质数是2，则只有2和23这一种可能，所以乘积是46. （3）三个质数和40，偶数，则三个质数中必有2，另两个和为38，试验发现：只有7和31可以，最后求乘积为434.,练习二： 如果三个互不相同的质数相加和为52，这三个质数可能是多少？,知识精讲,通过前面的学习，我们对质数已经有了基本了解，下面我们来学习这一讲中最重要的内容分解质因数，分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式。如30=235，100=2255，280=222257，同学们请注意，分解时应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的。 分解质因数的方法一般是短除法，如图所示，我们将42分解质因数，在计算的过

8、程中要善用各种特殊数的整除特性。,知识精讲,能整除42的质数 相除后得到的商 100在分解质因数时也可以写成100=22X52，280在分解质因数时也可以写成280=2357，这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数字，叫做指数.如: 指数 100=22X52 280=2357 这里280的分解式中5和7指数都是1，写的时候可以省略。,作为指数的时候我就隐身了哟,知识精讲,如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断197是不是质数，难道需要一一验算197以内的所有质数吗？同学们不要担心，数学家们早就为我们准备了简单的方法，只需要试很少的几个就能判断。 例如：我们要判断197

9、是否为质数，只需要验算15以内的质数就足够了，因为1515=225比197大。类似的，如果我们要判断2011是不是质数。只需要验算45以内的质数，因为4545=2025比2011大，有了这个方法，同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了。,这里其实用的是神秘的“完全平方数”家族的数字们！,知识精讲,古老的数字家族有这样一个特殊的族群，他们是“完全平方数”，就是类似于：1、4、9、16等等这样是两个相等数乘积的数，他们的家族也是很庞大的哦！,常见到的还有25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、625，记住他们，非常

10、有利于计算哦,例题三： 请把下面的数分解质因数 （1）360；（2）539；（3）999；（4）10101。 【分析】一个数分解质因数可以从最小的质数开始，一个一个去试商写成短除的形式。,从我开始哟！,例题三： 解析：（1）360=23325 （2）539=7211 （3）999=3337 （4）10101=371337,最后一定要写成乘积的形式哟！,练习三： 请把下面的数分解质因数：（1）373；（2）12660。,例题三： 解析：（1）质数 （2）12660=2235211,哦，质数根本就不能再分解啦！,在数论问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续0的个数。解决这类问题的方法，同样是分

11、解质因数，下面我们来看一个例题。,例题四： 算式123.100计算结果的末尾有多少个连续的0? 【分析】乘积的末尾要出现一个0，只需要乘数中凑出一个10，那么能凑出来几个10，末尾就有多少个连续的0。注意到10=25，我们只需要计算这个算式中含有的质因数2和5的个数就可以了。,2呢？,5呢？,练习四： 算式123.30的计算结果的末尾有多少个连续的0？,在一起,OK,分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法，大家一定要能熟练地将一个数分解质因数，这应该作为一项基本的能力来培养，下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际问题。,例题五： 三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个数的和等于多

12、少？ 【分析】39270是三个自然数的乘积，于是先将39270分解质因数，在对这些质因数进行适当的组合，凑出题目中的三个连续自然数，由于连续自然数相互之间比较相近，所以凑的时候也必须尽量接近。,挑战极限,例题六： 360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少？ 【分析】完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后它的每个质因数的指数都是偶数，而360=23X32X5，它不是一个平方数。它最小再乘上多少结果就是平方数了？,挑战极限,通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处，它就像手术刀一样，把整数解刨开来，让我们把整数的组合结构看得一清二楚，很多看似复杂的问题，如果从分解质因数的角度来看，就会变得非常简单。,课堂检测,一、（1）如果两个不同的质数相加等于3