第三章概率论与数理统计——矿大版.ppt

1、第三章,多维随机变量及其分布,一、二维随机变量,二、边缘分布,三、相互独立的随机变量,四、两个随机变量的函数的分布,定义1 设随机试验,的样本空间是,设,和,是定义在,上的随机变量，则由它们构成的一,个向量,称为二维随机变量或二维随机向量。,定义2 设,是二维随机变量，对于任意实数,二元函数,称为二维随机变量,的分布函数，或联合分布函数。,第一节 二维随机变量,二维分布函数的几何意义,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质：,对任意固定的,，当,时，,对任意固定的,，当,时，,关于,右连续，即,解 由分布函数的性质,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义： 若二维随机变量,的所有

2、可能取值,是有限对或可列无限多对时，则称,为,离散型随机变量。,一、二维离散型随机变量,的分布律。,称为二维随机变量,性质：,例1、,将骰子抛两次，X第一次出现的点数， Y第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。,解：,1 2 3 4 5 6,1 2 3 4 5 6,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,可能取值均为1,2,3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理可得,所以,的分布律为,定义： 设二维随机变量,的分布函数为,若存在,使得对任意实数,总有,则称,为二维连续型随机变量,称为,的,概率密度,或称为随机变量,和,的联合概率密度。,二、二维连续型随机变量,f (x,y)的性质

3、:,若,在点,连续，则有,即连续型随机变量在某点的,概率为0。,G表示xoy平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面,为顶的曲顶柱体体积。,注：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求：, 分布函数, 概率, 概率,解, 由概率密度的性质,得,从而得, 由分布函数的性质, 将,看作平面上随机点的坐标，有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 积分区域如右图所示,G1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 由概率密度的性质知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的概率密度为,例6 已知, 求常数A的值； 求,的分布函数,解 由性质,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,

4、所以, 由于, 当,或,时，, 当,时，（如下图3-5(1)）, 当,时，（如下图3-5(2)）,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 当,时，（如下图3-5(3)）, 当,时，（如下图3-5(4)）,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,边缘分布,第三章,二、边缘分布律,一 、边缘分布函数,三、边缘概率密度,第二节,一、 边缘分布函数,的分布函数为,分别,的分布函数为,设,记,和,的边缘分布函数。,，称为关于,和,则,同理可得,研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。,解:,的边缘分布函数为,关于,同理，,二、 离散型随机变量的边缘分布律,设

5、,的分布律为,则,关于,的边缘分布律为,记做,记做,同理,通常用以下表格表示,的分布律和边缘分布律,三、连续型随机变量的边缘概率密度,其概率密度为,则:,同理,关于X 和Y 的边缘概率密度。,分别是,解:,例2.,上服从均匀分布,密度 和,的概率密度为,例3 已知,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 已知,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由对称性得,注：,书69页：例5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相互独立的随机变量,第三章,二、n个随机变量的独立性,一、两个随机变量的独立性,第四节,均有,一、两个随机变量的独立性,定义1 若二维随机变量,对任意的实数,成立，则称随机

6、变量,是相互独立的。,即,1) 对于离散型的随机变量,2) 对于连续型的随机变量,几乎处处成立。,例1 设随机变量,相互独立，试确定 a,b,c 的值？,解：,解 因为,关于,的边缘概率密度,故,与,是相互独立的。,例3.（约会问题）张三与李四决定在老地方相会，他们,到达时间均匀分布在晚上7:007:30,且时间相互独立,求：两人在5分钟之内能见面的概率。,解,设张三到达的时间为7:X ；李四到达的时间为7:Y，,所以，,所求概率为,注：关于正态分布的重要结论。（79页例5）,二、n个随机变量的独立性（自学）参79页,定理 设随机变量,相互,独立，h , g 是连续函数，则随机变量,也相互独立

7、。,G2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二维随机变量的函数的分布,第三章,一、离散型随机变量函数的分布,第五节,二、连续型随机变量函数的分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、二维离散型随机变量的函数的分布,设离散型随机变量,的分布律为,设,为二元函数，,求,的分布律。,当,时，Z 相应的值为,且有,例：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 假设随机变量( X , Y )的分布律为,分别求,的分布律，,并判断,是否独立？,解,且,= 0.19.,所以，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理可得下表,化简整理，得各函数的分布律为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,

8、而,不相互独立。,故,例2 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们分别服从,参数为,的泊松分布。求,的分布律。,解 由题意可知,故,故,泊松分布具有可加性,二、二维连续型随机变量的函数的分布,.,Z = X+Y 的分布,已知( X , Y )的概率密度为f (x,y),求Z=X+Y的概率密度。,Z=X+Y的分布函数为,解：,令 x =u-y,则,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别地,当X 与Y 相互独立时,有,上式称为,的卷积公式,记为,例3 假设 X 和Y 相互独立,且都服从标准正态分布，,解,由题意可知X 与Y 的概率密度分别为,由卷积公式可得 Z 的概率密度为,结论： 正态分

9、布的可加性,若随机变量,相互独立，并且,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解（方法一）由题意可知，用卷积公式,则随机变量 Z=X+Y 的密度函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,即,(如右图),机动 目录 上页 下页 返回 结束,综上所述随机变量 Z=X+Y 的密度函数为,（方法二）用分布函数法,由独立性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 先求随机变量 Z=X+Y 的分布函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 再对随机变量 Z=X+Y 的分布函数积分可得,例5、,解法1,利用概率密度公式,例6 设随机变量( X ,Y )的概率密度为,解：,解法2 分布函数法,机动

10、 目录 上页 下页 返回 结束,解 ,的概率密度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由,如右图,所以,同样可解出来，但注意图形坐标是关于 z 和 x 的。, 关于 X 的边缘概率密度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由式可得,.,M= max(X,Y )，N= min(X,Y )的分布,(随机变量相互独立）,X和Y的分布函数,解,的分布函数为,的分布函数为,所以,推广 当,独立同分布时，随机变量,的分布函数为,例7 设随机变量X 的概率密度为,随机变量,相互独立且与X 有相同的,分布,试求随机变量,的概率,密度和,解 X 的分布函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的分布函数为,所以M 的概率密度为,所以