多元函数微分学的几何应用.ppt

1、一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,86 多元函数微分学的几何应用,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、空间曲线的切线与法平面,下页,设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导,设tt0和tt0t分别对应于曲线上的点M0(x0, y0, z0)和M(x0+x, y0+y, z0+z),当MM0, 即t0时,作曲线的割线MM0,其方程为,得曲线在点M0处的切线方程为,设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导,过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为,向

2、量T(j(t0), y(t0), w(t0)称为曲线在点M0的切向量.,通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面, 其法平面方程为 j(t0)(xx0)y(t0)(yy0)w(t0)(zz0)0.,下页,一、空间曲线的切线与法平面,解,xt1,点(1, 1, 1)所对应的参数t1.,因为,zt3t2,yt2t,于是, 切线方程为,所以切向量为T=(1, 2, 3).,法平面方程为,即x2y3z6.,(x1)2(y1)3(z1)0,下页,例1 求曲线xt, yt2, zt3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程,曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量

3、为T(j(t0), y(t0), w(t0).,讨论:,1. 若曲线的方程为yj(x), zy(x), 则切向量T?,提示: 1. 曲线的参数方程可视为: xx, yj(x), zy(x), 切向量为T (1, j(x), y(x).,下页,曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T(j(t0), y(t0), w(t0).,2. 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T?,2. 两方程可确定两个隐函数: yj(x), zy(x).,切向量为T (1, j(x), y(x), 而j(x), y(x)要通过解方程组得到. ,例2 求

4、曲线x2y2z26, xyz0在点(1, 2, 1)处的切线及法平面方程.,解,方程组在点(1, 2, 1)处化为,所求切线方程为,从而T =1, 0, -1.,法平面方程为 (x1)0(y2)(z1)0, 即 xz0.,首页,二、曲面的切平面与法线,因为曲线在曲面上, 所以有 F(t),y(t),w(t)0.,向量 n(Fx(x0,y0,z0), Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0)与曲线上点M0处的切向量T (j(t0),y(t0),w(t0)是垂直的.,Fx(x0, y0, z0)j(t0)Fy(x0, y0, z0)y(t0)Fz(x0, y0, z0)w(t0)0.,

5、等式的两边在tt0点求全导数得,下页,设M0(x0, y0, z0)是曲面 F(x, y, z)0上的一点, 是曲面上过点M0的任意一条曲线,x(t), y(t), z(t), tt0对应于点M0(x0, y0, z0),其参数方程为,二、曲面的切平面与法线,向量 n(Fx(x0,y0,z0), Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0)与曲线上点M0处的切向量T (j(t0),y(t0),w(t0)是垂直的.,设M0(x0, y0, z0)是曲面 F(x, y, z)0上的一点, 是曲面上过点M0的任意一条曲线,x(t), y(t), z(t), tt0对应于点M0(x0, y0,

6、 z0),其参数方程为,曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上, 这个平面称为曲面在点M0的切平面; 通过点M0而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.,曲面的切平面与法线,下页,曲面的切平面方程 曲面在点M0(x0, y0, z0)的切平面方程为 Fx(x0, y0, z0)(xx0)Fy(x0, y0, z0)(yy0)Fz(x0, y0, z0)(zz0)0.,曲面的法线方程 曲面通过点M0(x0, y0, z0)的法线方程为,曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 n(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0

7、, y0, z0) 是曲面在点M0(x0, y0, z0)处的一个法向量.,下页,例3 求球面x2y2z214在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程.,F(x, y, z) x2y2z214,解,Fx2x,Fy2y,Fz2z,Fx(1, 2, 3)2,Fy(1, 2, 3)4,Fz(1, 2, 3)6.,法向量为n=(2, 4, 6),法线方程为,或n=(1, 2, 3).,下页,曲面 F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为 n(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0).,即x2y3z140.,(x1)2(y2

8、)3(z3)0,所求切平面方程为,讨论: 若曲面方程为zf(x, y), 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式?,提示: 此时曲面方程可写为f(x, y)z=0, F(x, y, z)f(x, y)z, 切向量为 n(fx(x0, y0), fy(x0, y0), 1).,下页,曲面 F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为 n(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0).,例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程.,解,f(x, y)x2y21,n=(fx, fy, 1)|(2, 1, 4),(2x, 2y, 1)|(2, 1, 4),=(4, 2,