电子在库仑场中的运动.ppt

1、3.3 电子在库仑场中的运动 背景：H原子，类氢原子（如 ），将e+核的相互作用及动能，分为二体质心平动和电子与核的相对运动，即核静止而电子绕核运动， 为折合质量 1.能量本征方程 体系的哈密顿算符 其中拉普拉斯算符 在球坐标下可表示为,，可将第一项看作径向动能，二三项看作角向动能。 而势能 仅与 有关，与 无关，提示（1）可将第一项+ 与二、三项分离变量，（回忆数理方程，若 则 （可分离） （2）能量本征态可能与 无关，对于 的不同状态，能量简并。,能量本征方程： 2.分离变量 设 理由： 中有 ， 与 无关 将（6）代入（5）式，并 移项得,（7）式左边=r的函数，右边= 的函数，二者相等

2、，仅当同等于常数时才成立： 左= ，再 ，得: 右= ， 得: （9）式 ，即为上节的角动量平方算符的本征值方程，而(8)式则称为径向方程。,由上节知 （10）代入径向方程： 当 ，任意 都可使上式成立，波函数条件成立，体系能量又连续谱。 当 ， 有分立谱（束缚态）时波函数条件才成立。 3.化简方程 （1）方程第一项可写为 ，验证：,可令 变换函数（12）并 得 所满足的方程:,（2）在代换： 变换自变量。变换的目的：化为某种已知的数理方程标准形式。 方程（13）变为 (3)求公式（15）的渐近解：令 则 只有 ： 其解为 而 与波函数有限性相抵触，舍去。所以取,代回（15）式中，消去 得 的

3、方程: 4.求解方程（17）的本征值 设级数解： 为什么要 才可使 在 处有限。将（18）代入（17）方程中：,若级数为幂级数，则当 ,（19） ,与 相同行力,而 ,会使 在 发散，不满足波函数条件。必须使 在有限项处断为多项式！,拉盖尔多项式： 设最多次项为 即 而 ，则(19) 式分子为0，得： 又一技巧: 而 从0开始，不含 即 而 ,当 必须使上式分母为0， 才成立。即 由数理方程可知，s的解只能取：,（22）代入（20）式 中 再令 。称 为径向量子数，而 为总量子数或主量子数 。由于 与 都为正整数或0， 将 代回 定义式（14）中：,此即为电子在氢原子中处于束缚态的能级公式，简

4、称H原子能级公式。 在电子能量 （束缚态）时，只有当电子能量不连续取值，即量子化，才可使波函数满足有限性条件。实际测量中，电子在任一可能状态的波函数在任一地点都应有限。这就要求 只能取分立值。这二方面已由实验证实。 5.径向波函数 （1）将 代入 式中， 可以把 用 表示，代回(18)式中，将 提出：,为缔合拉盖尔多项式将 解（26）代回（16）： 在将此二式代回到（12） 中，并注意到 的定义式(14)和 ：(23)式有,定义： 为第一玻尔半径 （无量纲半径） 最后得到电子的径向波函数（标注量子数 ） 为归一常数。 （2） 归一化 由波函数归一化条件：,由于球谐函数已归一化， 在数理方程中已算出（利用 函数，及 ) （3） 的前几个例子,所以在库仑场中运动的束缚电子（E0）的定态波函数： 6.能级简并度 库仑场市中心力场(辏立场)具有反演对称性,库仑静电能仅与 有关，而与 无关， 前一对称性造成电子能级对 m 简并，后一对称性造成 对 简并 波函数 由三个量子数决定，而电子能级 仅由一个量子数（主量子数 n ）决定，即一个能级对应多个波函数所描写的状态，所以电子能级是简并的。 对任一个 可以取 n 个值，根据式 （23） 式（35） 对任一个 值，独立的 阶求函数共有 个：,，一个 各有两个 写为复函： 为何 : 若 则 求 次导数