同济大学线性代数课件__第四章y.ppt

1、1，第4章，向量组的线性相关，2，1向量组及其线性组合，称为n维向量，n数称为向量，n个分量，而ith数称为ith分量。这里定义的n维向量指的是行(或列)矩阵。3，称为行向量。一个，叫做列向量。4，示例。由所有三维向量组成的集合通常称为三维欧几里德几何空间。在R3中称为平面。集合5在n维欧氏空间Rn中称为n-1维超平面。称为n维欧几里德空间的集合。由所有n维向量组成的集合，由6，7的列向量组：和行向量组：组成的集合，以及同维的矩阵A和列向量(或行向量)称为向量组。向量组8，2的线性相关称为向量组A的线性组合，称为线性组合系数。如果有一组实数，那么向量B被认为是向量组A的线性组合，或者向量B可以

2、由向量组A线性地表示，例如，10:求解方程组，即求解方程组，11，所以，得到，12，记住，13，那么方程组的向量被表示为14，定理1:向量B可以由向量组线性地表示， 并且有一个解，其中，15，那么向量组B可以由向量组A线性地表示。如果向量组A和向量组B可以彼此线性地表示，并且如果组B中的每个向量可以由向量组A线性地表示，定义：并且让向量组和，那么向量组A和向量组B是等价的。16，B可以用A线性表示，17，定理23360，向量组可以用线性表示，并且有一个解，其中，18，定理：向量组可以用线性表示，然后R(B) R(A)。根据定理2，有R(A)=R(A，B)，和R(B) R(A，B)，所以R(B)

3、 R(A)。19，定义4:20，21，示例23360，尝试讨论向量组和向量组的线性相关性。22，解：假设系数行列式，齐次线性方程有非零解，所以向量是线性相关的，23，讨论它们的线性相关。结论，是线性独立的，解：(2)当且仅当两个向量的对应分量成比例时，它们是线性相关的；(3)如果一个向量组是线性独立的，则通过添加每个向量的分量而获得的新向量组仍然是线性独立的。(4)向量组的线性相关当且仅当向量组中至少一个向量可以由其他向量线性表示。25，定理5-2:由M个N维向量组成的向量组是线性相关的。特别地，N 1个N维向量是线性相关的，那么B可以由向量组A线性表示，并且表达式是唯一的。26，假设Kx=0

4、，那么，x=0，也就是说，Kx=0只有零解，所以，证明：线性无关。29，3向量组秩，定义为1:简称为最大独立组，R称为向量组A的秩，表示为Ra，(ii)A的任何向量都可以用A0线性表示，那么组的一部分称为向量组A的最大线性独立组，30，注：(1)只有零向量的向量组没有最大独立组，这就规定了(2)线性独立向量组的最大独立组是它自己。(4)向量组A可以用A0线性表示。(3)向量组中最大的无关组通常不是唯一的。(5)任何极大线性独立群都等价于向量群本身。例如，在向量组32中，向量组的秩是2。注：具有相同秩的两个向量组不一定相等。两个向量组具有相同的秩，其中一个向量组可以用另一个向量组线性表示，那么这

5、两个向量组是等价的。向量组的秩是2。33，例：设矩阵，矩阵A的行向量组是，所以矩阵A的行向量组的秩是3。34，矩阵A的列向量组是，所以矩阵A的列秩是3。，35，定理6:矩阵的秩=矩阵的行向量组的秩=矩阵的列向量组的秩。证明了矩阵A经过初等变换后成为最简单的行B，初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系。因此，A的列向量组的秩与AT的列向量组的秩相同，但是A的秩，37，解：38，是一个极大独立组。39，例2:求矩阵的列向量集的最大独立集，并用这个最大独立集线性表示其余向量。40，解：41，42，是一个极大独立群。43，极大独立群的等价定义：那么偏群称为向量群A中的一个，并且(ii)向量群A中的任何

6、向量都可以线性表示。最大的不相关群体。44，证明：只需要证明A中的任何r 1向量是线性相关的。设r 1向量在a中，从(ii)中，这些r 1向量可以用A0线性表示。因此，这些r 1向量线性相关。线性表示的充要条件是线性表示，然后是线性方程的解的结构46，4，(1)齐次线性方程，或，47，1。解的性质仍然是解。属性1:如果它是的解，它仍然是的解。属性2:如果它是解，则为48，2。基本解系统是线性独立的；49，定理7:设，是，矩阵，如果，那么齐次线性方程的基本解系统存在，并且每个基本解系统包含解向量。50，证明：简化为行最简单形式，51，对应于B，52，53，(2)向量组的方程，线性独立。通过综合(

7、1)和(2)，向量组(c)是齐次线性方程组的基本解系。(C)54的一般解是，记住，然后，是的，是的。55，例4 :找到下列齐次方程的通解。解：56，初等行变换，最简单的行矩阵对应的方程组是，是自由变量。(2)，57，方法1:首先找到一般解，然后找到基本解系统，所以，也就是，58，方法2:首先找到基本解系统，然后找到一般解。在(2)中，一般解是，59，解：例5，找出下列齐次方程的通解。60，初等行变换，ling，de，通解，61，(2)非齐次线性方程，相应的齐次线性方程，62，例8，线性方程，它们分别表示通过三维直角坐标系原点的直线。它们分别表示在三维直角坐标系中不穿过原点的平面。和，和，63，

8、属性1:是相应的齐次线性方程的解。性质2:是，的解，是相应的齐次线性方程的解，那么，是。64，分析：如果有解，它的通解是，其中是的一个特殊解，并且是相应的齐次线性方程的通解。1.证据是解决办法；任何解决方案都可以用。65，例6 :解非齐次方程，解是：66，67，凌，得到，68，凌，得到基本解系，所以原方程的通解是，69，例7 :求下列方程的通解。solution:70，order，get，get基本解系统，order，所以一般解是，71，例：是set，ask u，v=？方程组(1)有唯一的解；(2)无解决方案；(3)有无限的解。解决方案是：当U2；72，当u=2，v3时，没有解；当u=2，v=

9、3时，有无穷多个解。一般解，73，5向量空间，定义：让v是n维向量的非空集合，如果v对于加法和数字乘法是封闭的，那么集合v被称为向量空间，解释3360，集合对于加法和数字乘法是封闭的，注意，0必须是向量空间v的元素，即74，例如：所有三维向量都是向量空间。整个n维向量也是向量空间。是向量空间。不是向量空间。但非齐次线性方程的解集Ax=b，75，例如：判断下列集合是否是向量空间，76，而不是向量空间。因此，解决方案是向量空间。77，它是否是向量空间。v被称为向量a和B生成的向量空间.假设A和B是两个已知的N维向量，零子空间V=0，80，线性方程Ax=0的解空间，或的零空间，81，定义7:让V是向量空间。如果向量满足，那么它被称为向量组，它是向量空间V的基础，而R被称为向量空间V的维数，它被表示为dimVr。82，注：(1)向量空间0只包含零向量-称为零子空间-没有基础，其