误差理论 课件.ppt

1、1,绪论 测量误差与数据处理,物理实验基本程序和要求,1.实验预习 (1)实验前仔细阅读实验教材。要求以理解教材中将要做的实验目的、原理为主，了解实验所用的仪器以及实验内容与要求，明白实验所要观测的是哪些物理量。 (2)写出预习报告（内容包括实验题目、目 的、原理、主要计算公式、原理简图）。 (3)准备原始实验数据记录表格。,2.实验操作 （1）上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等 工具。 （2）预习报告必须于课前交给教师审批，预 习报告合格者允许进行实验；没有预习或预习 不符合要求者，不得进行实验。 （3）操作前，认真听取教师简要讲述，必 须在了解仪器的工作原理、使用方法、注意事 项的基础上，

2、方可进行实验。 （4）实验操作过程中，应做到严格、细致、准确、稳妥、实事求是，绝不能拼凑数据。,（5）认真记录测量数据，实验记录中的每一个数据的位数都应符合有效数字的表达规范，如发现记录的数据有错误，可在错误的数据上画一直线或打叉。 （6）完成实验后要将实验数据交给教师审查签字，达到要求后，再将实验仪器整理还原，方可离开实验室。 （7）离开实验室后不允许修改记录的数据。 3撰写实验报告 物理实验报告一般应包括以下几项内容： （1）实验名称。 （2）实验目的。 （3）实验仪器。,（4）实验原理。 简要叙述实验的物理思想和依据的物理规律，主要计算公式；电学和光学实验应画出相应的电路图或光路图。 （

3、5）实验内容及步骤。 根据实际的实验过程写明实验的关键步骤。 （7）注意事项。 （8）数据处理及分析。 实验报告要用统一的实验报告册书写，字体要工整，文句要简明。原始数据要附在报告中一并交给教师审阅，没有原始数据的实验报告是无效的。,1.学生进入实验室需带上预习报告和记录实验 数据的表格，经教师检查同意后，方可进行实验。 2.遵守课堂纪律，保持安静的实验环境。 3.使用电源时，务必经过教师检查线路后方能 接通电源。 4.爱护仪器。进入实验室不能擅自搬弄仪器, 实验中严格按教材或仪器说明书操作，如有损坏 照章赔偿。公用工具用完后应立即放回原处。 5.做完实验，经教师审查测量数据并签字后， 学生应

4、将仪器整理还原，将桌面和凳子收拾整齐 后离开实验室。 6.按要求及时上交实验报告。,实验室规则,教学安排,本学期教学计划26学时，其中讲课6学时（2次），实验20（8次）学时。,第1章 测量误差及数据处理 1.1 测量与误差 1.2 误差处理 1.3 仪器误差 1.4 测量结果的不确定度估计 1.5 有效数字及其运算法则 1.6 实验数据处理的基本方法,1.1.1 测量 1. 测量的基本概念 测量是利用仪器设备通过一定测量方法，将待测物理量与一个选做为标准的同类物理量进行比较，确定待测物理量大小的过程。,测量三个要素 （1）测量方法；（2）仪器设备；（3）测量结果 比较法 米尺 90.70cm

5、,1.1 测量与误差,测量的目的：获得测量值(数据)。 例如：用最小刻度为mm的米尺测量物体的长度。,90.70cm,2.测量值 120.50cm 一个物理量的测量值必须由数值和单位组成，两者缺一不可。 测量值数值+单位,测量数值只有赋予了单位才有具体的物理意义,例如： （1）120.50，不知道表示什么物理量； （2）120.50cm，表示长度； （3）120.50Kg，表示质量。,按测量结果获得方法：测量可分为直接测量和间接测量,在物理量的测量中，绝大多数是间接测量， 但是，直接测量是一切测量的基础。,3. 测量的分类,（1）直接测量 用标准量与待测量直接进行比较。 例如：用直尺测量长度；

6、 以表计时间； 天平称质量； 安培表测电流；等等。,（2）间接测量 经过直接测量与待测量有函数关系的物理量，再经过运算得到待测物理量的测量方法。 例如：用钢卷尺测量桌子的面积 S=ab=S(a,b),按测量条件：测量可分为等精度测量和不等精度测量,3. 测量的分类,（1）等精度测量 相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量。 相同测量条件： 同一测量水平的观测者 同一精度的仪器 同样的实验方法 同样的实验环境,等精度测量 测量的所有数据，可信赖程度相同，数据处理过程中的地位相同，一视同仁。,（2）非等精度测量 不相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量。,非等精度测量 测量的所有数据，可信

7、赖程度不同，数据处理过程中的地位不同，按测量精度的高低，区别对待。,1.真值与误差 （1）真值：物理量在客观上存在着的确定数值。 真值是一个抽象的概念，一般无法得到。真值及其变化规律的未知性，正是科学实验的意义所在。 实际应用中真值约定的方式： 理论真值；公认真值；计量约定真值；标准相对真值；等等。 （2）误差 误差测量值-真值,1.1.2 误差,测量不能得到真值，但可以减小测量误差，估算误差范围。,2. 误差的基本性质 普遍性： 存在一切测量之中，贯穿于测量始终。 不可知性： 一般真值是未知的，误差就无法知道。,2. 误差的表示形式,（1）（绝对）误差 用绝对大小给出的误差，表示为 xx0,

8、相对误差反映了测量精度的高低，无单位，用百分数表示。,绝对误差反映了测量值偏离真值的大小和方向，可正可负，有单位。,（2）相对误差 绝对误差与被测量真值的比值，表示为 E /x0100,例如： 测量两个物体的长度分别为L1=100.0mm，L2=80.0mm；绝对误差分别为1=0.8mm，2=0.8mm。 相对误差分别为：E1=0.8%， E2=1.0% 。,测量值,真 值,1.1.3 误差的分类,粗大误差,系统误差,随机误差,按产生的原因和性质分类：,误差的分类,（2）随机误差 在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，每次测量的误差可能是正或负，也可能是比较大或小，这是难以预测的，而且毫

9、无规律而言。 但是，如果测量次数很多时，误差的出现又符合一定的统计规律。,（1）系统误差 在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，保持恒定（大小、正负不变）或按特定规律变化的误差。来源:1）仪器误差；2）理论误差；3）观测误差；4）环境条件。,随机误差无法从实验中完全消除，但多次测量可以减小。随机性，补偿性,按误差掌握程度：已定系统误差和未定系统误差。 按误差变化规律：不变系统误差和变化系统误差。,系统误差尽量消除或减小,误差的分类,（3）粗大误差 在测量中某种非正常原因所引起的错误，也称疏失误差。如读数错误，记录错误，操作错误，估算错误等等。,说 明 系统误差与随机误差关系 系统误差由测

10、量过程中某一突出因素变化引起。 随机误差由测量过程中多种因素微小变化综合引起。,存在粗大误差时，测量值明显偏离被测量的真值。 数据处理时，先检验测量数据是否存在粗大误差，剔除含有粗大误差的数据。（判断和剔出方法参阅教材P19),随机误差与系统误差不存在绝对的界限。 在一定条件下，随机误差和系统误差可以相互转化。,1.1.4 测量的精密度、准确度和精确度,（1）精密度。表示重复测量所得数据的相互接近程度（离散程度）。 （2）准确度。表示测量数据的平均值与真值的接近程度。 （3）精确度。是对测量数据的精密度和准确度的综合评定。,以打靶为例来比较说明精密度、准确度、精确度三者之间的关系。图中靶心为射

11、击目标，相当于真值，每次测量相当于一次射击。 （a）准确度高、 （b）精密度高、 （c）精密度、准确 精密度低 准确度低 度均高,1.2 误差的处理,1.2.1 处理系统误差的一般知识 发现系统误差，尽可能消除或减小。（参阅物理实验中心新编大学物理实验教材教1.2.1) 1.2.2 随机误差的统计处理 1.2.3 粗大误差的剔除 判别粗大误差，从测量数据中剔除。 （参阅物理实验中心新编大学物理实验教材教1.2.3),1、随机误差的正态分布规律,在一定的测量条件下设某一物理量的真实值为x0，对其多次重复测量值x1，x2，xn，则各次测量的随机误差可表示为,1.2.2 随机误差的统计处理,随机误差

12、可以应用概率统计理论进行估算,概率密度分布函数为,随机误差的正态分布规律,式中为标准误差。令概率密度分布函数的二阶导数为零，便可解出标准偏差，正好是概率密度分布曲线拐点的横坐标值。,随机误差的正态分布规律,遵从正态分布规律的随机误差特征： 单峰性：绝对值小/大的误差可能性大/小 对称性：大小相等的误差正、负机会均等 有界性：绝对值非常大的可能性几乎为零 抵偿性：正负误差相互抵消,随机误差可以应用概率统计理论进行估算,随机误差的正态分布规律,概率密度分布函数f（）的意义是： 在误差值附近，单位间隔内误差出现的概率，测量值的随机误差出现在区间（，+d）概率为f（）d，即图中阴影内所包含的面积元。按

13、照概率理论，误差出现在区间（-，+）范围内是必然的，即概率为100%。,随机误差可以应用概率统计理论进行估算,曲线下的总面积表示各种可能误差值出现的总概率为,随机误差的正态分布规律,式中为标准误差。令概率密度分布函数的二阶导数为零，便可解出标准偏差，正好是概率密度分布曲线拐点的横坐标值。,2标准误差的物理意义,标准误差的物理意义,测量值超过3范围的情况几乎不会出现，所以我们把3称为极限误差。 在实际测量中置信概率有不同的取值，根据国家计量技术规范，在写出测量结果的表达式时，要注明它的置信概率。在P=0.95时，不必注明P值；当P取0.68或0.99时要求注明P值。 在物理实验教学中，我们约定取

14、置信概率P=0.95。,多次测量，x1、 x2、xn，测量列的算术平均值为：,当测量次数n 趋于无穷时，算术平均值趋于真值。,误差的对称性和抵偿性,1.2.2 随机误差的处理 3、算术平均值和标准偏差,算术平均值和标准偏差,当测量次数n 为有限次时，测量列的算术平均值作为真值的最佳估计值；其标准差常采用贝塞尔法来估计。,多组等精度重复测量时，各测量列算术平均值也具有离散性，用算术平均值的标准差来描述。 算术平均值的标准差,一个测量列中各测量值的标准偏差,多组等精度重复测量时，算术平均值的标 准差,偏差：,4t分布,当测量次数很少（n10）时，误差的分布就不服从正态分布，从而过渡到t分布（即学生

15、分布）。,t分布曲线与正态分布曲线类似，两者的主要区别是分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄、下部较宽，如图所示，在有限次测量的情况下，就要将随机误差的估算值取大一些。即在贝塞尔公式的基础上再乘以一个tp因子，tp与测量次数有关，也与置信概率有关。,tp因子与测量次数、置信概率的对应关系,仪器的极限误差（仪器误差 ）： 仪器误差属于未定系统误差，影响因素多，规律复杂，一般只能给出最大允许误差的估计值。即仪器的极限误差仪。,极限误差的获得： (1)说明书、计量部门检定等； (2)由仪器的准确度级别来计算； (3)未给出仪器误差时估计: 连续可读仪器:最小分度1/2 非连续可读仪器:最小分度 数字

16、式仪表：取末位1,1.3 仪器误差,A.由仪器的准确度表示,.仪器误差 的确定：,数字秒表:最小分度=0.01s,C.未给出仪器误差时,非连续可读仪器,测量不确定度是对测量结果不确定范围的标度，也可以理解为测量误差可能出现的范围，表征测量结果的分散性、准确性和可靠程度，也表示待测量的真值可能在某个量值范围的评定。 不确定度是与测量结果相联系的一种参数。 基本定义：对测量结果可信赖程度对评定。 不确定度是评价测量质量的一个重要的指标。不确定度大，可信赖程度低；不确定度小，可信赖程度高。,1.4 测量结果的不确定度估计,不确定度的表示形式 绝对不确定度： 相对不确定度：E,测量结果的表示形式 被测

17、量 x，最佳估计值 不确定度 ，完整的测量结果表示为,（单位）,不确定度的分类 按评定方法的不同，可分成两类： A类不确定度和B类不确定度。 A类不确定度： 用统计方法评定的不确定度， A,B类不确定度： 用非统计方法评定的不确定度， B,测量结果：,（2）B类不确定度 只考虑仪器误差，标准不确定度的B类分量为,最佳估计值 多次测量，x1、 x2、xn，测量列的算术平均值可表示为：,1.4.1 不确定度的分类 多次测量 （1）A类不确定度 直接测量的标准不确定度的A类分量用算术平均值的标准差公式估算。,用算术平均值作为直接测量量的最佳估计值。,1.4.2合成不确定度,直接测量的不确定度估计,1

18、.4.2合成不确定度 单次测量 有时因条件所限不可能进行多次测量(如地震波强度、雷电时电晕电流强度等)；或者由于仪器精度太低，多次测量读数相同，测量随机误差较小；或者对测量结果的精度要求不高等情况，往往只进行一次测量。 单次测量时， A类不确定度，无法考虑；最佳估计值即测量值本身。,单次测量合成不确定度只考虑B类分量为,测量结果的表示 用合成标准不确定度表示测量结果。,直接测量的不确定度估计,一、间接测量的最佳值,二、 间接测量的不确定度传播公式 间接测量量N的不确定度与各直接测量量的不确定度有关，它们之间的关系由标准差传播公式表示为,间接测量是利用已知函数关系式的转换测量。 间接测量量：N

19、直接测量量：x, y, z, 函数关系形式为：,2 间接测量结果的合成不确定度,1.4.3 有关不确定度的数据处理过程与实例,1单次直接测量的数据处理,2多次直接测量的数据处理 对多次直接测量的数据， 进行处理的一般步骤是： （1）计算被测量的算术平均值 （2）求出各测量值的残差,（3）用贝塞尔公式求出测量列的标准偏差,。,（4）审查测量数据，如发现有异常数据，应予以舍弃。舍弃异常数据后，再重复步（1）、（2）、（3）、（4），直至完全剔除异常数据。 （5）求A类不确定度,（6）求出总不确定度,（7）表示出最后测量结果,，,直接测量问题 用025mm的一级千分尺测钢球的直径D，6次数据为： D

20、1=3.121mm， D2=3.128mm， D3=3.125mm D4=3.123mm， D5=3.126mm， D6=3.124mm 写出完整的实验结果。 解： 求算术平均值,举例,求不确定度A类分量,求不确定度B类分量,计算合成不确定度,完整的测量结果表示,注意：测量结果的有效数字，不确定度的有效数字，相对不确定度的有效数字，单位。,试求体积V并表示多取一位实验结果。 解：求V：,间接测量举例：,间接测量问题 用千分尺测量圆柱体的体积V ，已求得直径为：,注：常数的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，至少位数相同，目的是让常数取值的误差忽略不计。体积的有效数字应符合有效数字运算法则，或

21、多取一位。,求V的不确定度：,根据不确定度传播公式：,实验结果表示：,不确定度的有效数字首位是1或2可以取二位， 但不能超过二位。,1、有效数字的概念 由于误差存在的普遍性，实验中某物理量的测量值及运算结果都是近似的。 合理的近似，既能充分反映测量精度，又简单明了。 这种近似的数据是有效的，被称为有效数字。 有效数字与测量条件(如仪器、环境、人员)密切相关，有效数字的位数由测量条件和待测量的大小共同决定。,1.5 有效数字及其运算法则,例如，用最小分度值为1mm的尺，测量一物体长度得到1.65cm。 “5”是在6和7两个整毫米刻度内估读的，是不可靠的，可疑数字；1.6是由尺子刻度直接读出的，是

22、可靠数字。,1.65cm,（1）有效数字的位数 有效数字“可靠数字”“一位可疑数字” 总共有几位称为几位有效数字。,有效数字由表征测量结果的可靠数字与可疑数字组成的。 可疑数字在有效数字中一般只有一位。,1、有效数字的概念,15.86，四位有效数字 5.32，三位有效数字,5.320，四位有效数字 0.0532，三位有效数字,1.65cm,当实验结果的有效数字位数较多时，进行取舍一般采用1/2修约规则。 （1） 需舍去部分的总数值大于0.5时，所留末位需加1，即进。 （2） 需舍去部分的总数值小于0.5时，末位不变，即舍。 （3） 需舍去部分的总数值等于0.5时，所留部分末位应凑成偶数。 即末

23、位为偶数(0、2、4、6、8)，数字舍去；末位为奇数(1、3、5、7、9)，数字入进变为偶数。,2、有效数字的修约规则,修约成4位有效数字 3.14159 3.142 6.378501 6.379 2.71729 2.717 4.51050 4.510 5.6235 5.624 3.21650 3.216,四舍、六入、五凑偶,3、直接测量的有效数字,2.00cm,（1） 有指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位。 （2） 数字显示仪表：显示值均为有效数字，不再估读。,4、不确定度的有效数字 不确定度一般只取一位有效数字，特殊情况可以取二位，但最多不超过二位。,5、中间结果和常数的有效数字 一

24、般比直接测量结果的有效数字多取12位。 圆的面积：S=r2 直接测量r结果： 4.5678m,4.5672m,4.5679m,4.5676m 五位有效数字 中间结果平均值： 4.567625m 七位有效数字 常数：3.141593 七位有效数字,6、单位换算的有效数字问题 单位换算时有效数字的位数不变。 1.3m1.3103mm 1300mm 1300mm1.300m 1.3m 用科学记数法表示。,7、实验结果的有效数字 实验结果的有效数字由不确定度确定。有效数字的末位与不确定度的末位对齐。,有效数字的运算规则,准 准 准 欠 欠 欠,1加减：与位数最 高者对齐。,2乘除：一般可与位 数最少者

25、相同。,3幂运算、对数（指数）、三角函数(反 三角）不改变有效数字位数。,加、减法,约简,可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。,乘、除法,在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，特殊情况比最少者多（少）一位。,多一位的情况,全部欠准时，商所在位即为 为欠准数位。比位数最少者 少一位的情况。,有效数字位数与底数的相同,乘方、立方、开方,初等函数运算,四位有效数字，经正弦运算后得几位？,不参与有效数字运算,常数,1. 不确定度的有效数字,一般情况下不确定度的有效数字

26、取一位，精密测量情况下，可取二位。,2. 测量结果的有效数字,测量结果最佳值的有效数字的末位与不确定度首位取齐。,3. 舍入规则： 四舍六入五凑偶,舍入法则,一、列表法,表1.不同温度下的金属电阻值,物理量的名称(符号)和单位,有效数字正确,1.6 实验数据处理基本方法,注意:1根据数据的分布范围，合理选择单位长度及坐标轴始末端的数值，并以有效数字的形式标出。,2将实验点的位置用符号X或 等标在图上，用铅笔连成光滑曲线或一条直线，并标出曲线的名称。,二 作图及图解法,3线性关系数据求直线的斜率时,应在直线上选相距较远的两新点A.B标明位置及坐标A(X1 Y1), B(X2 Y2) 由此求得斜率

27、。,作图法特点: 简单明了。,缺点:有一定任意性（人为因素），故不能求不确定度。,非线性关系数据可进行曲线改直后再处理,因变量,自变量,标度,起点,终点,(4)描点,(5)连线,(6)注解说明,(7)求斜率,当X等间隔变化，且X的误差可以不计的条件下，,将其分成两组，进行逐差可求得：,对于 X ：X1 Xn X2n Y ：Y1 Yn Y2n,三、逐差法,是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。,满足线性关系 y=a+bx,若,最简单的情况:,四、最小二乘法,由于每次测量均有误差，使,在所有误差平方和 为最小的条件下，得到的方程 y=a+bx 的方法叫最小二乘法。,假定最佳方

28、程为：y=a0+b0 x，其中a0和b0是最佳系数。残差方程组为：,根据上式计算出最佳系数a0和b0，得到最佳方程为： y=a0+b0 x,最小二乘法应用举例,为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：R = a + b t。 表一 电阻随温度变化的关系,3. 写出待求关系式：,设计性实验 基础知识,定义：给定实验目的及要求，由学生自行设计实验方案并加以实施的实验。,主要设计内容包括： 建立物理模型 确定实验方法 选择仪器设备 制定实验步骤,设计性实验,测量型实验：对某一物理量（如电容、折射率、静态磁特性的测量等）进行测定，达到设计要求； 研究型实验：

29、用实验确定两物理量或多物理量之间的关系（电源特性研究），并对其物理原理、外界条件的影响或应用价值等进行研究； 制作型实验：设计并组装装置，如万用表、全息光栅等,三种类型：,设计性实验的一般程序：,建立 物理 模型,一、建立物理模型,根据实验对象的物理性质，研究与实验对象相关的物理过程原理及过程中各物理量之间的关系、推导数学公式 。 例：测量兰州地区的重力加速度g。 测量精度要求：,什么物理现象或物理过程与g有关？ 自由落体运动/物体在斜面上的滑动/抛体运动/单摆/ ,物理模型的建立,要测某一地区的重力加速度,或者建立一个单摆的 物理模型。,可建立个自由落体运动的物理模型,注意适用条件：,1、只

30、有系小球的细线的质量比小球质量小很多； 2、小球的直径比细线的长度小很多； 3、小球在重力作用下做小角度摆动等，周期才满足公式,测量重力加速度的物理模型,自由落体模型,只能测一个单程的时间与位移，当下落行程h为2m时，所需时间t只有0.6s多，这就对计时仪器的精度提出了很高的要求。,单摆模型,可测n个周期的累积摆动时间，对于摆长L=1m的单摆，周期T约为2s，若累计测50个周期，则时间间隔达100s左右.,显然采用此方案，既简单，又准确。因此，选单摆模型比自由落体要好。,比如： 在测量温度时可以使用水银温度计、热电偶、热敏电阻等多种器具； 测量电压可以用万用表、数字电压表、电位差计、示波器等。

31、,一个实验中可能要测量多个物理量，而每个物理量又都可能有多种测量方法。,必须根据被测对象的性质和特点，罗列各种可能的实验方法，分析各种方法的适用条件，比较各种方法的局限性及可能达到的实验精度等因素，并考虑各种方法实施的可能性，优缺点，综合后做出选择。 一般情况下，为减小误差应尽可能采取等精度的多次测量；对于等间隔、线性变化的实验数据的处理可采用“逐差法”、“最小二乘法”等。,实验方法的选择,测量仪器的选择与配套,在间接测量中，每个独立测量量的不确定度都会对最终结果的不确定度有贡献。若测量结果的合成不确定度为 ，则 中的每一项 都要大致相等。,选择的方法是通过待测的间接测量量与各直接测量量的函数关系导出不确定度传递公式，并按照“不确定度均分”原理将对间接测量量的不确定度要求分配给各直接测量量，再由此选择精度和量程适合的仪器。例如：,不确定度均分原理,选择测量仪器,不确定度传递公式,单摆实验,测长仪器的允许最大不确定度(示值误差)为3.5mm， 计时仪器的允许最大不确定度(示值误差)为0.0036s。,考虑到测量方便,选摆长L约为lm，则周期约为2s。,选择lmm刻度的米尺测长完全可以达到要求；考虑到用停表计时时最小显示为0.01s，又由于操作者技术引起的