人教版高考数学课件等差数列与等比数列

1、第一节第一节等差数列与等比数列等差数列与等比数列 基础知识基础知识 1 1数列的概念数列的概念 定义定义 1 1. 按照某一法则，给定了第1 个数a1，第2 个数a2， 对于正整数n有一个确 定的数a n ，于是得到一列有次序的数a1,a2, ,an,我们称它为数列，用符号an表示。 数列中的每项称为数列的项，第n项an称为数列的一般项，又称为数列an的通项。 定义定义 2 2.当一个数列的项数为有限个时， 称这个数列为有限数列； 当一个数列的项数为无限时， 则称这个数列为无限数列。 定义定义 3 3.对于一个数列，如果从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项，即an1 an，这样 的数列称为

2、递增数列；如果从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项，即an1 an，这样 的数列称为递减数列。 定义定义 4 4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数， 即| an| M， 其中M是某一个正数， 则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。 * 定义定义 5 5.如果在数列an中，项数n与an具有如下的函数关系：an f (n),n N，则称这 个关系为数列an的通项公式。 2 2等差数列等差数列 定义定义 6 6.一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数， 这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母d表示。 等差数列具有以下几种性质： （1

3、）等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d或an am (n m)d； （2）等差数列的前n项和公式：S n n(a 1 a n )n(n 1) 或S n na 1 d； 22 （3）公差非零的等差数列的通项公式为n的一次函数； （4）公差非零的等差数列的前n项和公式是关于n不含有常数项的二次函数； （5）设an是等差数列，则anb（,b是常数）是公差为d的等差数列； （6）设an，bn是等差数列，则1an2bn（1,2是常数）也是等差数列； * （7）设an，bn是等差数列，且bn N，则ab n 也是等差数列（即等差数列中等距 离分离出的子数列仍为等差数列） ； （8） 若mn pq，

4、 则am an a p a q ； 特别地， 当m n 2p时，am an 2a p ； （9）设Aa1 a2 an，B an1 an2 a2n，C a2n1 a2n2 a3n， 则有2B AC； （10）对于项数为2n的等差数列an，记S 奇，S 数项的和，则S 奇 S 偶 nd， 偶 分别表示前2n项中的奇数项的和与偶 S 奇 S 偶 a n ； a n1 S 奇 S 偶 n ； n1 （11）对于项数为2n1的等差数列an，有S 奇 S 偶 a n ， （12）S n 是等差数列的前n项和，则S 2n1 (2n 1)a n ； （13）其他衍生等差数列：若已知等差数列an，公差为d，前n

5、项和为S n ，则 a p ,a p1 , ,a p(n1)t , 为等差数列，公差为td； a1 a2 am, am1 am2 a2m,（即S m ,S 2m S m ,S 3m S 2m , ） 为等差数列，公差m d； 2 S n SSSd （即1,2,3, ）为等差数列，公差为. n1232 3 3等比数列等比数列 定义定义 7 7.一般地，如果有一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母q表示（q 0） ，即 a n q(q 0)。 a n1 等比数列具有以下性质： n1nm(a 1 q 0)； （1）

6、等比数列的通项公式：an a1q (a 1 q 0)或a n a m q na 1 (q 1) na a qa (1q ) n （2）等比数列的前项和公式：S n 1 ； n1 (q 1) 1 q 1q （3）等比中项：an1 anan2； （4） 无穷递缩等比数列各项公式： 对于等比数列a1,a1q,aq , (| q |1)的前n项和， 当n 无 限 增 大 时 的 极 限 ， 叫 做 这 个 无 穷 递 缩 数 列 的 各 项 的 和 ， 记 为S， 即 2 S limS n n a 1(0 | q |1)； 1 q m （5）设an是等比数列，则an（是常数） ，an仍成等比数列； （

7、6）设an，bn是等比数列，则anbn也是等比数列； * （7）设an是等比数列，bn是等差数列，且bnZ则ab n 也是等比数列（即等比数 列中等距离分离出的子数列仍为等比数列） ； （8）设an是正项等比数列，则log c a n (c 0,c 1)是等差数列； （9）若mn pq，则aman a p a q ；特别地，当m n 2p时，aman a2 p ； （10） 设Aa1 a2 an，B an1 an2 a2n，C a2n1 a2n2 a3n， 则有B AC； （11）其他衍生等比数列：若已知等比数列an，公比为d，前n项和为S n ，则 t a p ,a p1 , ,a p(n1

8、)t , 为等比数列，公比为q； 2 a1 a2 am, am1 am2 a2m,（即S m ,S 2m S m ,S 3m S 2m , ） 为等比数列，公比为q； m 典例分析典例分析 例例 1 1设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于 3，且各项之和为 972，则这样 的数列有_个。 解 ： 设 等 差 数 列 的 首 项 为a， 公 差 为d。 由 已 知 有na 1 n(n 1)d 972， 即 2 2a (n 1)dn 2972。又因为n 3，所以n只可能取97,297,972,2972，又 因为a 0,d 0且a,d均为整数，故297 n(n 1)d 2an n(n 1)

9、d； 若d 0，由于d为正数，则d 1，即297 n(n 1)d n(n 1)，故n 97，这时 有(n,a,d) (97,49,1)或(97,1,2)； 2 若d 0，则na 97，这时有(n,a,d) (97,97,0)或(97 ,1,0)。 2 2 2 例例 2 2设S 1,2, ,100，A 是 S 的三元子集，满足：A 中元素可以组成等差数列，那么 这样的三元子集有_个。 解：若a1,a2,a3成等差数列，则a1 a3 2a2，从而首未两项奇偶相同，且首未两项一旦 确定，那么等差数列也就随之确定了。但是值得注意的是，虽然a1,a2,a3成等差数列时， a 3 ,a 2 ,a 1也成等

10、差数列，但它们所对应的是同一个集合A= a 1 ,a 2 ,a 3 。 将 S 按数的奇偶性分成S11,3,5, ,2001,2003与S 2 2,4,6, ,2002两个子集。 从S 1 中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有C1002种不同的取法； 从S 2 中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有C1001种不同的取法； 所以共有C1002+C1001种不同的取法。 例例 3 3设S 1,2,3, ,n，A 为至少含有两项且公差为正的等差数列，其项都在S 中，且 添加 S 的其它元素于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列，求这种A 的个数（这里 只有两项的数列也看作是等差数列

11、）（1991 年全国高中数学联赛二试第一题） 分析：可先对特殊的n（如 n=1,2,3）通过列举法求出A 的个数，然后总结规律，找出an的 递推关系，从而解决问题；也可以就A 的公差d 1,2, ,n 1时，讨论 A 的个数。 解 法 一 ： 设 n 元 素 集S 1,2,3, ,n中 满 足 条 件 的A有 a n 个 ， 则 22 2 2 a 1 0,a 2 1,a 3 2(A 1,3,1,2,3)，a4 4(A 1,3,1,4,2,4,1,2,3,4)， 如此下去，可以发现an an1 。 事实上，S 1,2,3, ,n比S 1,2,3, ,n 1的 A 增加的公差为(n 1)的 1 个

12、， 公差为 n 2 nn 1n (n为奇数）的增加1 个，共增加 个。(n2)的 1 个，公差为(n为偶数)或 222 n2 由an的递推公式可得an 个。 4 解法二：设 A 的公差为d，则1 d n1，分为两种情况讨论： （1）当n为偶数时，则当1 d nn 时，公差为d的 A 有d个，当 1 d n 1时， 22 公差为 d 的 A 有(n d)个，故当 n 为偶数时，这种 A 共有 nnn2 (1 2 ) 1 2 n (1) 个； 224 （2）当n为奇数时，则当1 d n 1n 1 d n1时， 时，公差为d的 A 有d个，当 22 公差为 d 的 A 有(n d)个，故当 n 为奇

13、数时，这种 A 共有 nnn21 (1 2 ) 1 2 n (1) 个； 224 n2 综合（1） （2）得，所求的 A 共有 个。 4 例例 4 4将数列2n 1依次按每一项，两项，三项，四项循环分成（3） ， （5，7） ， （9，11， 13） ， （15，17，19，21） ， （23） ， （25，27） ， （29，31，33） ， （35，37，39，41） ， （43）， 则第 100 个括号内的各数之和是_。 解：每循环一次记为一组，则第100 个括号是第 25 组的第 4 个括号。而每组中第四个括号 内的各数之和构成以 72 为首项，以80 为公差的等差数列，故72 248

14、0 1992为所求。 222b n 是等比数列， 例例 5 5 设数列an是等差数列，且b1 a1，b2 a2，b3 a3（a1 a2） ， 又lim(b 1 b 2 b n ) n 2 1，试求数列a n 的首项与公差。 （2000 年全国高中数学联赛一试第13 题） 分析；题中两个基本量an中的首项a 1 和公差d是所需求的。利用a1，a2，a3成等比数 列和给定的极限可列出两个方程，但需注意极限存在的条件。 解：设所求的首项为a 1 ，公差为d。因为a1 a2，故d a2 a1 0；又因为bn成等 2242422 比数 列，故b2 b 1 b 3 ， 即a2 a1 a 3 ，即(a1 d

15、) a1(a1 2d)，化 简得： 222 2a 1 2 4a 1d d 2 0，解得d (2 2)a 1 ，而 2 2 0，故a1 0； 22a 2 a 22 若d (2 2)a 1 ， 则q 2 ( 2 1) ； 若d (2 2)a 1 ， 则q 2 ( 2 1)2； a 1 a 1 但是lim(b 1 b 2 b n ) n 2 2 1存在，可知| q |1，于是q ( 2 1)2不合题意，从 b 1 a 1 2 而只有q ( 2 1)。于是由lim(b 1 b 2 b n ) 2 1 n 1 q1( 2 1)2 2 解得a1 (2 2 2)( 2 1) 2，所以a 1 2，d (2 2

16、)a 1 2 2 2 故数列an的首项与公差分别为 2和2 2 2。 2 n1 n 1n 1 )(cosisin)(n N*) 266 例例 6 6若复数列an的通项公式为an ( （1）将数列an的各项与复平面上的点对应，问从第几项起，以后所有的各项对应的点都 落在圆x y 22 1 的内部； 16 （2）将数列an中的实数项按原来的顺序排成一个新数列bn，求数列bn的通项及所 有项的和。 解 ： （ 1 ） 设 数 列an的 各 项 在 复 平 面 上 对 应 的 点 的 坐 标 为(xn, yn)， 则 x n ( 2 n1 n 12n 1 )cos，y n ()n1sin。 2626

17、2n1 2 12 n1 n1 2 1 ， ()n1sin 的内部，只需()cos 26162616 要使点(x n,yn)落在圆 x2y2 得( ) 1 2 n1 11 ( )4即n 5，故从第 6 项起，以后每一项都落在圆x2 y2 的内部。 216 2 n1 n 1 )sin 0，得n 6k 5(k N*)， 26 2 6n6)cos(n 1) ， 2 （2）要使数列an中的项为实数，则( 因此数列bn的通项公式为bn a6n5( 所以 b n1 2cosn1 ()6 ，且b 1 a 1 1 b n 2cos(n 1)8 1 的无穷递缩数列，从而数列bn的所有项的和为： 8 故数列bn是首

18、项为 1，公比为 S b1 1 q 1 1 1 8 8 。 9 a 1,a2 ,a 3 ,a n 是1， a 1 ,2a 2 ,3a 3 ,na n 例例7 7 已知整数n 3，2， 3， ， n的一个排列， 求证： 不可能构成一个等差数列， 也不可能构成一个等比数列。（2006 年山东省第二届夏令营试题） 证明：若a1,2a2,3a3 ,nan构成一个等差数列，设其公差为d，则d 2a2 a1， na n a 1 (n 1)d nd 2a 1 2a 2 ，所以n | (2a1 2a2)。 而 2n 2a1 2a2 2n，因为a1 a2，所以2a1 2a2n,n 所以a1d 2a1 2a2n,

19、n。 于是当a1 d n时，则d a1 n，于是 (n 1)a n1 a 1 (n 2)d a 1 (n 2)(a 1 n) (n 1)a 1 n(n 2) 所以(n 1) n(n 2)，矛盾！ 当a1 d n时，则d a1 n 0， 又因为na n a 1 0所以d 0，从而d 0。 所以a1 2a2 3a3 (n1)an1 nan， 所以n 1| a1,n | a1， 从而n(n 1) | a1， 矛盾！ 从而a1,2a2,3a3 ,nan不可能构成一个等差数列。 下证a1,2a2,3a3 ,nan不可能构成一个等比数列。 若a1,2a2,3a3 ,nan构成了一个等比数列，考虑最后三项。

20、 有(n 1) a n1 (n 2)a n2 na n ，所以n(n 2) |(n 1) a n1 。 而（n(n 2)，(n 1) ) 1，所以n(n 2) |a n1 ； 当an1 n 2时，显然n(n 2) a n1 ； 2 当an1 n 1时，显然n(n 2) (n1) ； 2 当an1 n时，有n(n 2) | n，知(n 2)| n，所以(n 2) | n (n 2)即(n 2)| 2，所 2222 22 2 以n 3或 4； 当n 3时，a1,2a2,3a3只能为 1，6，6 或 2，6，3，但这两个都不是等比数列； 当n 4时，a3 4，所以3a 3 124a 4 故q 1；又

21、因为3a 3 12a 1 ，所以q 1矛盾！ 所以a1,2a2,3a3 ,nan也不可能构成一个等比数列。 例例 8 8 正整数序列an按以下方式构成：a0为某个正数， 如果an能被 5 整除， 则an1 a n ； 5 如果an不能被 5 整除， ，则an1 5an。证明：数列an自某一项起，以后各项都不是 5 的倍数。（2006 年山东省第二届夏令营试题） 证明：首先证明an中一定在存在相邻的两项，它们都不是5 的倍数。 （反证）若不然，数列an中任意的两项都是 5 的倍数。 若5| an1，则an2 a n1 5a n 55 5a n a n ； 5 若 5 a n1 ，则5| an，从

22、而an2 5an1 5 a n 5a n a n ； 55 所以a0 a1 a2 矛盾！ （因为某个正数，不可能大于无穷多个正整数） 从而an中一定在相在相邻的两项，它们都不是5 的倍数。 设an,an1都不是 5 的倍数，则an1 5an 5an，其中0 1， 有an2 5an1 5( 5an) 5an 5 5a n 5 因为0 55， 所以5 5 0， 所以 5只能取1,2,3， 即a n2 5a n 只能取1,2,3，这说明a n2 不是 5 的倍数。 即从an起以后每一项都不是5 的倍数。 例例 9 9将与 105 互质的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第三1000 项。 解

23、： 设U 1,2,3, ,105， A 3 a | aU且3| a ， A 5 a | aU且5| a ， A 7 a | aU且7 | a 则 105105105 35 ；Card(A5) 21；Card(A7) 15； 357 105105105 Card(A 3 A 5 ) 7；Card(A 5 A 7 ) 3；Card(A 7 A 3 ) 5； 355773 105 Card(A 3 A 5 A 7 ) 1，所以Card(U) 105。 357 Card(A 3 ) 在 1 到 105 之间与 105 互质的数有Card(CUA 3 C U A 5 C U A 7 ) Card(U)Card (A 3 ) Card (A 5 )Card(A 7 )+Card(A 3 A 5 )+Card(A 5 A 7 )+Card(A 7 A 3 ) Card(A 3 A 5 A 7 )=105（35+21+15）+（7+3+5）1=48 设将与 105 互质的数从小到大排列起来为数列a1,a2, ,an,， 则a11,a2 2,a3 4, , a 48 104，a 49 1051，a