武汉大学MBA课程《数据模型与决策》课件（4）概率.ppt

1、乐观与悲观的秘密,著名剧作家奥斯卡.王尔德猜测:乐观主义者和悲观主义者用不同的方式观看这个世界。心理学家现在证实他的这一猜测是正确的。 心理学家发现，悲观主义者眼睛往下看，他们的大脑工作的更好；乐观主义者眼睛向上看时，他们的大脑会转的更快。,这一发现表明，因痛苦而引起的典型的畏怯表情确实会对人起作用，他们也许有悲观的思想，但是如果他们抬头向上看的话，就不会那么悲观的思考问题了；而人老是低着头的话，就会更加悲观的进行思考。 领导这一研究的北达科他州大学心理学家布赖恩.迈耶说，更重要的是，这一研究提出了诊断和治疗这种忧郁情绪的新方法。,忧郁是最普遍而又令人最容易衰弱的心理疾病之一，5个人中就有一个

2、人的生活受到这种情绪的影响。 在研究中，研究人员对志愿者进行了测试，结果暗示了这种关系的来源。 迈耶说：“这一研究认为，只需劝说这样的人改变一下习惯，将目光稍稍抬高一点，就会大大减轻忧郁情绪。”,“ 得 分 问 题 ”,甲、乙两人各出同样的赌注，用掷,硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝,上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分，,甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部,赌注. 当进行到甲还差 2分乙还差3分，就,分别达到规定分数时，发生了意外使赌局,不能进行下去，问如何公平分配赌注？,确定性现象,随机现象 ,每次试验前不能预言出现什么结果 每次试验后出现的结果不止一个 在相同的条件下进

3、行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性,1.1 随机事件,对某事物特征进行观察, 统称试验.,若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示,试验前不能预知出现哪种结果,1.1,可在相同的条件下重复进行,试验结果不止一个,但能明确所有的结果,样本空间 随机试验E 所有可能的结果,样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为,随机事件 的子集, 记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.,组成的集合称为样本空间 记为,样本点(or基本事件) 常记为 ， = ,其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度,观察某地区每天的最高温度与最低温度,观察总机每天9:0010:

4、00接到的电话次数,投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,例1 给出一组随机试验及相应的样本空间,基本事件 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件.,必然事件全体样本点组成的事件,记为, 每次试验必定发生的事件.,随机事件发生 组成随机事件的一个样 本点发生,不可能事件不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.,在一次乒乓球比赛中设立奖金1千 元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部 奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了 3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因 必须中止比赛.问这1000元应如何分配 才算公平?,问 题,每周

5、1题(1),1.2 概率的定义及其计算,设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 则称 为事件A发生的频率.,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰( Buffon )投币,皮尔森( Pearson ) 投币,例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：,A: 0.0788 B: 0.0

6、156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,概率的 统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动

7、, 且随 n 越大摆动幅度越,小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便 使用,设 是随机试验E 的样本空间，若能 找到一个法则，使对于E 的每一事件 A 赋 于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的 概率，这种赋值满足下面的三条公理：,非负性：,归一性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件，,概率的 公理化定义,公理化定义,设 随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,概率的 古典定义,古典概型,设有 k 个不同的球, 每个 球等可能

8、地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ),（5）至少有两个球在同一盒子中；,（6）每个盒子至多有一个球.,例2 （分房模型）,例4,解,设 (1) (6)的各事件分别为,则,例3 “分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人，求至少有两,人生日相同（设为事件A ) 的概率.,解,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子”,若 n = 64，,每个盒子至多有一个

9、球. 由例4（6）,例5,若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不,会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.,小概率原理,小概率原理,( 即实际推断原理 ),例4 区长办公室某一周内曾接待过9次来,访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否,可以断定接待时间是有规定的？,解 假定办公室每天都接待，则,P( 9次来访都在周三、日) = = 0.0000127,这是小概率事件,一般在一次试验中不会发,发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.,例8,例5 某人的表停了，他打开收音机听电台 报时，

10、 已知电台是整点报时的，问他等待 报时的时间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,例9,几何概型 设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为,例6 设两船到达同一码头的时间是 随机的且各不相干. 两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 与 2 小 时, 试求一昼夜内, 任一船到达时, 需要等 待空出码头的概率.,解 设船 1 与船 2 到达码头的瞬时为 x 与 y ， 0 x 24 ， 0 y 24,设 事件A 表示“任一船到达时需要等 待空出码头”.,例10,将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成 三组.

11、 求 (1) 每组有1 名女同学(设为事件A)的概率； (2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率,解,（1）,（2）,例7,例8 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求至少有一个盒子的号码与放入的球的号 码一致的概率,解 设 A 为所求的事件,设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4,则,1.3 条件概率,引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中 有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料球. 现从袋中任取1球, 假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问 它是木球的概率

12、是多少？,设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.,1.3,所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为,解 列表,设A、B为两事件, P ( A ) 0 , 则,称 为事件 A 发生的条件下事 件 B 发生的条件概率，记为,定义,从而有,利用条件概率求积事件的概率即乘法公式,推广,某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率,解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时,所求概率为,例1,条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系,若,一般

13、地,例10 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两 两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概 率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有 效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个 报警设备有效的概率.,设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效,已知,求,解,例4,解 由,即,故,解法二,B1,Bn,AB1,AB2,ABn,全概率公式,A,Bayes公式,B2,每100件产品为一批, 已知每批产品中 次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件 次品的概率为,从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为

14、这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率,例11,例5,解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,4,A 为一批产品通过检验,则,已知P( Bi )如表中所示，且,由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与,结果如下表所示,1.0 0.9 0.809 0.727 0.652,0.123 0.221 0.397 0.179 0.080,i 较大时，,例12 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球.,设第 i 次,求,取得白球为事件 Ai ( i =1,

15、2 ) .,解,1.4 事件的独立性,1.4独立性,事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立,定义,设 A , B 为两事件，若,则称事件 A 与事件 B 相互独立,例13 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率,解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,100,则,例5,若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝 炎病毒，则, 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生的概率为1。,应用举例 肠癌普查,设

16、事件 表示第 i 次检查为阳性,事件B,表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：,某患者首次检查反应为阳性, 试判断该,患者是否已患肠癌？ 若三次检查反应均为,阳性呢？,由Bayes 公式得,首次检查反应为阳性 患肠癌的概率并不大,接连两次检查为阳性 患肠癌的可能性过半,两次检查反应均为阳性,还不能断,定患者已患肠癌.,连续三次检查为阳性,几乎可断定已患肠癌,习题,某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架 敌机即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率 击中它，则需配备此型号火炮多少门？,补充作业题,设需配备 n 门此型号火炮 设事件 表示第 i 门火炮击中敌机,故需配备 5 门此型号火炮 .,n

17、重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为,且,伯努利试验,例14 袋中有3 个白球, 2个红球,有放回取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.,解 古典概型,设 B 表示4个球中恰有2个白球,例7,解二 每取一个球看作是做了一次试验,记取得白球为事件 A ，,有放回地取4个球看作做了 4 重 Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai,感兴趣的是 4 次试验中A 发生2次的概率,一般地，若,则,例15 八门炮同时独立地向一目标各射击一 发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目 标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为 0.6, 求目标被击毁的概率.

18、,解 设一门炮击中目标为事件A, P(A) = 0.6,设目标被击毁为事件B,则,例8,某市进行艺术体操赛, 需设立两个裁 判组, 甲组3名,乙组1名. 但组委会只召集 到3名裁判, 由于临近比赛, 便决定调一名 不懂行的人参加甲组工作, 其中两裁判独 立地以概率 p 做出正确裁定,而第三人以 掷硬币决定, 最后根据多数人的意见决定. 乙组由 1 个人组成, 他以概率 p 做出正确 裁定. 问哪一组做出正确裁定的概率大 ?,每周一题4,问 题,解 设取出的5个数按由小到大排列为,杂例 从 1,2, ,10 十个数字中有放回地任取 5个数字, 求取出的5个数字按由小到大 排列, 中间的那个数等于 4 的概率.,附录,附 录,令 Ak 表示所取5个数字中恰有k 个不大于4,则,1,1,2,3,3;,1,1,2,3,4;,所取5个数字中至少有3个数字不大于4,由于,例16 小王忘了朋友家电话号码的最后一位,数, 他只能随意拨最后一个号, 他连拨三次，,由乘法公式,设,表示“第 i 次拨通”,解,例1,求第三次才拨通的概率.,经验古典方法,1. 收集实际数据 2. 在试验之后 3. P(A) = kn / n 重复试验n次 事件