线性代数第1章行列式.ppt

1、1,1,1,线性代数,教材 经济数学基础（第二分册线性代数） 出版社 四川人民出版社 主编 龚德恩 副主编 范培华 胡显佑 参考书 高等代数讲义(上册),丘维声编,北京大学出版社 线性代数简明教程, 蓝以中编,北京大学出版社 教师 王耀东 电话63369207 手E-mail 答疑 地点 理1305M 时间：星期日12:00-14:00,2,2,我的百度文库,3,3,3,高等数学的研究对象是函数，或一般地称为映射。函数形形色色，其中最简单、最基本、最重要者为线性函数。它们是研究其它函数的基础。为什么呢，这是因为不太坏的函数（例如可微函数）在小范围内都可以用线性函数逼近

2、。 线性代数就是专门研究线性函数的数学分支。 最简单的线性函数是,这个函数的基本性质是,4,4,5,5,5,要问 能否取值 就是要看方程,是否有解.研究线性函数的一个基本问题就是要解类似的线性方程. 实际问题中的自变量和因变量可能很多,就需要有效的工具解线性方程组.,6,6,人们真正能够解的只是线性方程组,幸好,一般的无论多么复杂的方程基本都能用线性方程组近似求解.因此解线性方程组就是高等数学的一个基本问题. 解线性方程组的基本工具是行列式和矩阵.,7,7,7,第一章 行列式,1 行列式定义 2 行列式性质 3 行列式按一行（列）展开 4 克莱姆法则,8,8,8,1 行列式定义 一、 二阶和三

3、阶行列式 二、 排列及其逆序数 三、n阶行列式定义,9,9,9,考虑二元一次联立方程组：,第一个方程乘以a21,，第二个方程乘以a11,（2-1）得,一、 二阶和三阶行列式,10,10,10,如果,，则,同理得,11,11,11,为便于记忆和推广，引进记号 这个记号称为二阶行列式。利用这个记号，二元一 次方程组的求解公式写成:如果 则,，系数矩阵的行列式.,12,12,13,13,13,例解方程组,14,14,14,例 解方程组,因为,15,15,15,我们考虑三元一次联立方程组,引进记号,第一个下标表示第几个方程,第二个下标表示第几个未知数.,16,16,16,17,17,17,主对角线,副

4、对角线,三阶行列式符号记忆法,18,18,18,令,19,19,19,如果 , 则方程有解,20,20,20,例求值,解,21,21,21,例解线形方程组,解,22,22,22,23,23,23,with(linalg): A:=matrix(3,-1,1,2,-4,-1,1,2,1); det(A);,24,24,24,例3 求解方程,解 方程左端,25,25,每一项是不同行不同列的两个元素的乘积冠以适当正负号.把行号按自然顺序安排,第一个乘积中的列号是12,顺序没有颠倒,而第二个是21,次序颠倒了一次.,看二阶行列式,二、 排列及其逆序数,26,26,26,再看三阶行列式,为了看出乘积前正

5、负号的规律，行号按自然顺序书写,我们写出每一乘积的列号：123，231，312，321，213，132,分别有0,2,2,3,1,1次颠倒,偶数次颠倒者,乘积冠以正号,奇数次颠倒者,乘积冠以负号.,27,27,27,由此看出定义行列式中的乘积前的正负号的关键是排列的逆序数 定义 自然数 的有序数组 称为一个排列. n 个自然数的排列总数是n!,28,28,28,定义 如果在排列 中 就说这两个数字 构成一个逆序。一个排列 的逆序总数称为这个排列的逆序数，记作,为了计算排列 的逆序数，只需数一数,29,29,29,每个 前面比 大的数的个数 则有,前三个逆序数为偶数,对应的项取正号,后三个逆 序

6、数为奇数,对应的项取负号. 定义 逆序数为偶(奇)数的排列称为偶(奇)排列.,30,30,30,求和号,设 是定义域 为有限集I的函数，则符号,表示所有函数值的和. 例如 则,31,31,32,32,32,求和的性质,利用求和号和排列的逆序数符号,用 表示1，2，.,n的所有排列的集合，则 三阶行列式可以写成,33,33,33,定义行列式的三个要素是数的加法,乘法和排列, 行列式性质来源于加法,乘法和排列性质.加法和 乘法的性质就是交换律,结合律和分配律,为我们 所熟知.由于出现在公式中的是因子 ,我们真正关心的并非逆序数本身,而是其奇偶性.现在考虑排列的奇偶性在对换下的变化规律.,34,34

7、,34,定义一个排列的两个元素交换位置,其余元素不动, 称为对换.相邻两个元素的对换称为相邻对换. 定理 一次对换改变排列的奇偶性. 证明 先证相邻对换改变排列的奇偶性.设排列 p1pipi+1pn相邻两个元素pi , pi+1交换位置成 p1pi+1pipn,则pi,pi+1和其它元素生成的逆序保持, 如果pipi+1是顺序,则pi+1pi是逆序,如果pipi+1是逆序,则 pi+1pi是顺序,故 t(p1pipi+1pn)= t(p1pi+1pipn) 1, 即p1pipi+1pn和p1pi+1pipn 奇偶性相反.,35,35,35,36,36,36,例 求排列 32514 的逆序数.

8、解,32514 是奇排列. 52314是什么排列? 例 n(n-1) 1的逆序数是多少？,37,37,37,定理 偶（奇）排列可以经过偶（奇）数次对换变成自然顺序。 证明 先证任何排列经过若干次对换可以变成自然顺 序。对于排列阶n用数学归纳归纳法。n=1时显然。 设对于k结论成立。给定k+1阶排列p1pk+1.如果 p11 ,而pi=1, p1和pi对换, p1pk+1变成1p2p1pK+1. 对于p2pk+1用归纳假设，经过若干次对换可以变成 自然顺序2k+1. 1p2p1pk+1变成12k+1. 设p1pk是偶(奇)排列,经过l次对换变成自然顺序 1k, 1k是偶排列,对换一次改变排列的奇

9、偶 性, l必为偶(奇)数.,38,38,38,定义 用 Pn 表示1,2, ,n的所有排列j1jn的集合，定义,三、n阶行列式定义,39,39,39,表示对于1，,n的所有排列j1 jn 求和 . 根据排列的性质得到 1.n 阶行列式共n!项. 2.每一项是不同行不同列元素的乘积带适当正负号. 3. （n2时）一半带正号的项,对应列号的偶排列,一半带负号的项,对应列号的奇排列.,40,40,40,前面的定义的项把行号写成自然顺序，其实把列号写成自然顺序，按行号组成的排列求和结果是一样的。 定理,41,41,41,证明,和,42,42,42,例 判断以下两式是否是六阶行列式的项：,解 第一项行

10、号是自然顺序，列号序列为,乘积取正号，故第一式是六阶行列式的项。,把第二式乘积的行号调整为自然顺序得,列号序列为452316,乘积取正号，故第二式不是六阶行列式的项。,43,43,43,例写出四阶行列式含 a11a23 的项. 解 其余两个因子取自2,4列:,第一个因子列号排列1324,对换32即变成1234,故为奇排列,取负号,第二个因子列号排列1342由1324对换2,4得到,故为偶排列,取正号:,44,44,44,例计算行列式,一般项 j11时此时为0， 非0项只可能是,解 ji 时, aij=0.,45,45,45,j2 只能取2，3，4. 第二行3,4列的元素为0,非0项只能为,类似

11、得非0项只能是,这种类型的行列式称为下三角行列式,其值等于对角线元素的乘积.,46,46,46,类似的上三角行列式的值也等于其对角线元素 的乘积,47,47,47,例,48,48,48,例,49,49,是正负相间吗？,50,50,50,例用行列式定义求下列行列式的值：,解,51,51,51,作业 习题一 1.(1),(3),(5),(7) 2.(1) 3.(1),(3) 4.(1),(3) 5.(1) 6.(1)，(3) 7.(1),(3),52,52,52,2行列式性质,用行列式定义计算其值，仅在罕见的情况下适用。一般的方法是把行列式变换为三角行列式，然后以对角线元素的乘积作为其值。为了把行

12、列式变换为三角形行列式，就需要研究行列式在进行所谓初等变换时其值的变化规律。,53,53,53,性质1.两行互换,符号改变. .,第i行,第s行,54,54,54,55,55,55,证明,一次对换改变排列的奇偶性,56,56,56,.,性质2.两行相等,其值为零. 证明两个相同的行互换，由性质1值反号，但其实它还是原来的行列式，故行列式的值等于其相反数，非零莫属。 性质3.一行乘数,提在外面.,57,57,57,证明,58,58,58,性质4.（两）行成比例,其值为零.,为了书写简短,用ri表示第i行ai1,ai2,ai3, kri表示 每个 元素k倍, ri +rj表示对应元素相加.,59,

13、59,59,性质5.一行为和,拆成两个.,60,60,60,证明,61,61,61,62,62,62,性质6 一行加另一行k倍，其值不变。 为了书写简短,用ri表示第行ai1,ai2,ai3, kri表示 每个元 素k倍, ri +rj表示对应元素相加.,证明,63,63,63,记,行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.,性质7 行列式与它的转置行列式相等,即 D=DT,64,64,64,证明,有了这个性质,所有对于行叙述的行列式性质对于列也成立.例如,65,65,65,66,66,66,用cj表示第 j 列，则以上性质可以简洁表示为,67,67,67,用行列式性质计算行列式,例 计算行

14、列式,解,68,68,68,例计算行列式,解,69,69,69,70,70,70,71,71,71,利用 化为上三角行列式,72,72,或,73,73,73,例计算n阶行列式,74,74,74,解,75,75,75,76,76,76,77,77,77,78,78,78,79,79,79,80,80,80,81,81,81,例计算n阶行列式,解,82,82,82,83,83,83,c1提公因子,84,84,84,85,85,85,例计算n 阶行列式,86,86,86,87,87,87,88,88,88,例 如果,则,89,89,89,证明把D1和D2分别做行变换和列变换化成下三角形，,90,90

15、,90,对于D做相应的变换得到,91,91,91,例设 abcd=1,计算,92,92,92,第一个行列式各行分别除以a,b,c,d,93,93,93,94,94,94,第一个行列式记作|c1c2c3c4|，第二个则为|c3c1c4c2|, (3142)=1+0+2=3.,95,95,95,习题 习题一8-13大题的单号小题,96,第一次习题课内容行列式定义，行列式性质. 重点是行列式性质. 题目 习题一 1.(2),(8) 2.(2) 3.(4) 5.(2) 7.(4) 8.(4) 9.(3) 10.(4) 11.(4) 12.(2),97,97,97,3行列式按一行（列）展开,行列式按一行

16、(列)的展开式在理论上和实际计算中都起重要作用，其实也是行列式的一条重要性质，由于其特殊性，和其它性质分开来叙述.而其它性质都主要是关于初等变换对于行列式的值的影响的.,98,98,98,我们从考察三阶行列式开始.,把三阶行列式的六项按含第一行各个元素分为三组,99,99,99,提出公因子,100,100,100,M22,M22,M32,101,101,101,分别称为a11,a12,a13的余子式,记作M11,M12,M13.而 (1)1+1 M11, (1)1+2 M12, (1)1+3M13称为 a11,a12,a13 代数余子式,记作A11,A12,A13.利用代数余子式,可以写出,1

17、02,102,102,划去aij的所在的行和列所得的行列式称为aij的余子式，记作Mij，（1)i+jMij称为aij的代数余子式，记作Aij.,定义,103,103,103,例设,求a23的余子式和代数余子式.,解,104,104,104,引理,(行列式按第一行的展开式),行列式等于第一行各元素和相应代数余子式乘积之和.,105,105,106,106,106,证明以三阶行列式为例书写:,107,107,107,表示2,3排列的全体,其余类似.,写出对于一般n的引理的证明.,108,108,108,定理 对于,按第i行展开,按第j列展开,109,109,109,证明把第i行和其前面的i-1行

18、依次互换i1次,到达第一行,其余位置不变.,110,110,110,如果一行乘另一行的代数余子式结果会怎样呢?,对于四阶行列式,举例说,111,111,111,例如对于3阶行列式,此式代表第二行元素为第一行元素的行列式, 即有两行相同,故其值为零.一般地对于n阶行 列式,克罗内克记号.,112,112,行列式按行或列展开的一般公式,113,113,113,例计算行列式,解I,114,114,114,此题中两个行列式的计算,115,115,115,解II,可以先用上一节的方法在一行制造更多的零.,116,116,116,117,117,117,例 计算行列式,解,118,118,118,119,

19、119,119,例设,第一式是行列式,120,120,120,解,121,121,121,122,122,122,例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,n=1时公式成立吗？ 共多少个因子？,123,123,123,证明用数学归纳法. n=2时,等式成立.设等式对于n-1成立,则从第n行开始，后行减去前行的 x1 倍：,124,124,124,按照第1列展开，并提出每列的公因子 xj x1就有,125,125,例,126,126,例求过点 的二次函数,设 互不相等。,解,127,127,128,128,129,129,130,130,这是三个点的拉格朗日插值公式,请写出四个点的拉格朗日

20、插值公式,以及 任意个点的拉格朗日插值公式.,131,131,131,例 求下列 n 阶行列式的值,132,132,为了观察降阶规律，我们以5阶为例,133,133,解,134,134,134,用数学归纳法证明.,时已经知道公式成立,设公式当 时成立,则对于 n+1 有,即公式对于n+1也成立,根据数学归纳原理,公式对于任意自然数皆成立.,(1)当一行很多0时,按一行展开,得递推公式; (2)直接计算前几个值,根据递推公式再计算几个值,猜出一般公式; (3)用数学归纳法证明猜出的公式.,135,135,思考题 用递推公式法求,136,136,136,习题 习题一 14,15(1),16(1),

21、17(1),(3),18,137,137,137,4克莱姆法则,138,138,138,如果D0,则,是方程组的解.,代入方程直接验证.,139,139,139,把D1按第一列展开,把D2按第二列展开,把D3按第三列展开,含b1的项集合并在一起.,含b2的项集合并在一起.,含b3的项集合并在一起.,140,140,140,故,类似地可以验证其它方程也满足.,设x1,x2,x3是解,则,证明解的唯一性,141,141,141,类似必有,故必有,即所有解都等于可莱姆法则给出的解，故解唯一。,142,142,142,这里的推导容易推广到一般情形:,用 表示:,143,143,143,系数行列式 记作D,其第j列换成b1, ,bn所得行列式记作Dj .,推论 如果D0,则齐次方程组,只有零解,定理 如果D0, 则方程组(*)有唯一解:,如果D=0,齐次方程组有非零解吗?这是下一章将要解决的重要问题之一.,144,144,一般情形克莱姆法则的证明,存在性.证明克莱姆法则给出的 是解.,不能提出,145,145,唯一性.证明所有解 有形式,146,146,146,例 解线性方程组,解,方程组有唯一解。,147,147,147,148,148, A:=2,-3,0