第五章 刚体的定轴转动.ppt

1、第五章 刚体的转动,5-1 刚体的平动和转动,刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动。,二.刚体的三种基本运动形态,在外力的作用下，形状和大小完全不变的物体称为刚体。,一.刚体的概念,1.平动,A,B,A,B,A,B,运动中的刚体上的各点都绕 作大小不同的圆 运动，这种运动称为定 转动。,2.转动,点,轴,点,轴,如车轮的转动：,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,平动+转动=平面平行运动，如火车轮子的运动：,3.平面平行运动,O,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,三.刚

2、体定轴转动的角量描述,角位置：,1.角量,t 时刻,时刻,角加速度：,角位移：,角速度：,P(t),x,O,时间内,角量与线量的对应关系：,2.角量与线量的关系,2,1,是定值的转动称为：,匀角速转动,匀变速转动,是定值的转动称作：,O,匀变速直线运动与刚体匀变速转动的对应关系：,为恒值 为恒矢,3.运动规律,例1.一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为， ，k为比例系数，设初始角速度为 。求：飞轮角速度与时间的关系；当角速度由 时所需的时间及在此时间内飞轮转过的圈数。,解：,在此时间内飞轮转过的圈数,注：,5-2 力矩 转动定律 转动惯量,表示式：,一.力对转轴的力矩,1.定义：,转轴到

3、力的作用点的矢径与作用力的差积。,正负规定：,若力矩使刚体沿,时针方向转动，M为 。,正,逆,顺,负,大小：,方向：,由右手螺旋法则确定,的方向由右手螺旋法则确定,（与 的方向一致）,2.说明,合力矩 合力的力矩,合力矩=各力的力矩和（代数和）,中心力（过转轴的力）的 力矩0。, 合力为零，合力矩不一定为零 合力矩为零，合力不一定为零,力不在垂直于转轴的平面内， 只有 对转轴力矩有贡献。,一对作用力与反作用力的力矩和等于零， 质点组对任一轴的内力矩之和为零。,二.转动定律,矢量式：,基本思想：,把刚体看作质元 的集合。,1.推导,切向式：,对整个刚体：,以 遍乘切向式：,刚体所受的合外力矩：,

4、内力矩和 =,定义：,转动定律,为刚体的转动惯量,2.牛顿第二定律与转动定律的对应关系,物理量：,M,规 律：,m,J,刚体,质点,刚体,质点,牛顿第二定律,转动定律,不一定,问：M大，是否 大？,大，是否M大？,不一定,问：刚体所受合外力为零时，它一定不会转动起来吗？,不一定,该定律不但对固定轴(转轴)成立，对质心轴也成立。,该定律是力矩的瞬时作用规律。,3.说明, 式中各量是对于同一 转轴而言。,力矩是改变刚体转动状态的外因。,2.可加性,1.定义,三.转动惯量,对分离的质点组：,转轴,质量连续分布的物体对转轴的转动惯量：,J是刚体转动惯性大小的量度,3.物理意义,单质点：,与转轴的位置有

5、关。,与刚体的总质量有关；,与刚体质量的分布有关；,4.J与哪些因素有关,复 习,力对转轴的力矩,转动定律,转动惯量,r,x,dx,取ox轴如图所示，取棍上一线 元dx为质元，,x,O,转动惯量：,例2.质量为m、长度为l 的均质细直棍，求对通过其中心O且与棍斜交成 角的轴的转动惯量。,5. J 计算应用举例,至转轴的距离：,解：,其质量：,当 ， 即为棍对过它的 中心且与棍垂直的转轴的转动惯量。,刚体对某轴的转动惯量 J，等于刚体对通过质心的平行轴的转动惯量 , 加上刚体质量m乘以两平行轴之间的距离d 的平方。即,过棒一端 、仍与棍斜交成 角的轴的转动 惯量 。,讨论：,由平行轴定理：,d,

6、为棍对过棍一端、 且与,讨论：,棍垂直的轴的转动惯量。,例3.如图，均质大圆盘质量为M，半径为R，对于过圆心O点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为MR2/2。如果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为m，半径为r，且 R = 2r。求挖去小圆盘后剩余部分对于过O点且垂直于盘面的转轴的转动惯量。,解：,所以实心部分对O轴的转动惯量为：,大圆盘对O轴的转动惯量：,J1 = MR2/2,小圆盘对O轴的转动惯量：,J2=mr 2/2 + mr 2,= 3mr 2/2,R,例4.求半径为R，质量为m的均匀半圆环相对于图中所示轴线的转动惯量。,取弧元ds，,r,ds,解：,解：对象：,受力分析：如图所示,依

7、牛顿第二定律与转动定律列方程,h,m1：,m2：,刚体,质点,找关系,解方程,例6.质量为5kg的一桶水悬于绕在辘轳上的绳子下端，辘轳可视为一质量为 10 kg 的圆柱体，桶从井口由静止释放，求桶下落过程中的张力。辘轳绕轴转动时的转动惯量为MR2/2，其中M和R分别为辘轳的质量和半径，摩擦忽略不计。,m,M,解：,对象,M+m,M：,m：,解得：,例7. 质量为M1=24kg的鼓形轮，可绕水平光滑固定的轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为 M2=5kg 的圆盘定滑轮悬有 m=10kg 的物体。求当重物由静止开始下降了h=0.5m时，物体的速度；绳中张力。（设绳与定滑轮之间无相对滑动，鼓轮

8、、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为,解：,对象：,M1、 M2 、m,受力分析：,如图,列方程,（书 P125 5-15）,M1：,M2：,m：,求解联立方程得:,例8.质量m、长为l的均质细杆，可绕其一端的水平固定轴O转动，将杆从水平位置释放，如图。试求：转到任一角 时，杆的角加速度 等于多少？此时的角速度 等于多少？,杆,进行受力与受力矩分析,依转动定律列方程,l,解：,O,对象：,由,讨论：,越小， 值越大； 越大， 值越大。,当 时，,例9. 以20Nm的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速由零增大到100rev/min，此时移去该力矩，转轮在摩

9、擦力矩的作用下，经100s而停止，试推算此转轮对其固定轴的转动惯量。,解：,有外力矩作用时,由转动定律有,无外力矩作用时,解得：,其中,M=20Nm，,= 17.3kgm2,复 习,转动定律：,5-3 刚体定轴转动动能 力矩的功,一.转动动能,二.力矩的功,x,质点：,1.力矩的功,O,力作的元功：,刚体：,（转动动能）,（平动动能）,力矩所作的元功：,2.转动动能定理,合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,转动动能定理：,力矩所作的功：,应用该定理时只需分析始态与末态。, 是相对量。,3.说明,转动动能定理的表达式为标量式。,例8.质量m、长为l的均质细杆，可绕其一端的水平固定轴

10、O转动，将杆从水平位置释放，如图。试求：转到任一角 时，杆的角加速度 等于多少？此时的角速度 等于多少？,例10.用转动动能定理求解例8。,解：,由转动动能定理有：,l,杆,对象：,O,3.机械能守恒定律,只有保守力作功时，机械能守恒。即,重力势能：,为刚体质心处的重力势能,例11.用机械能守恒定律求解例8中 的。,在杆转动的过程中，由于只有重力作功，故机械能 守恒。取杆的水平位置为势能零点，有,例8.质量m、长为l的均质细杆，可绕其一端的水平固定轴O转动，将杆从水平位置释放，如图。试求：转到任一角 时，杆的角加速度 等于多少？此时的角速度 等于多少？,解：,O,1.质点的角动量,2.刚体的角

11、动量,5-4 绕定轴转动的刚体的角动量和 角动量守恒定律,一.角动量（动量矩）,L的方向与 的方向相同。,二.刚体对转轴角动量定理,冲量矩,（角冲量）,刚体对转轴的角动量定理：,合外力矩的冲量矩 = 角动量的增量。,三.角动量守恒定律,1.守恒律,若刚体所受的合外力矩为零，则其总角动量保持不变。,角动量守恒定律：,不变，,2.说明,条件分析：,即力矩的和为零。,.一个,J不变， 不变，,J变， 变，,角动量守恒的几种情况,.几个,若人所受的 ，则人的 角动量也守恒。,.推广至人,刚体,质点,角动量守恒。,系统的角动量守恒,质点,刚体,例12.一根长为 、质量为 的均匀细棒，其一端挂在 一个水平

12、光滑轴上而静此于竖直位置。今有一子弹质量 为 、以水平速度 射入棒下端距轴高度为a处如图。 子弹射入后嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置 ， 求子弹的水平速度 的大小？,第二阶段,棒 刚体 子弹 质点,a,过程分析：,第一阶段,解：,对象：,列方程,解得：, 角动量守恒。,只有重力作功，故机械能守恒。,第一阶段：,第二阶段：,例13.如图所示，半径为R、质量为m的水平转台，以角速 度 绕中心处的铅直轴转动。台上站有4人，质量各等 于转台质量的 ；2人站于台边A处，2人站于距圆心 的B处。今台边2人相对圆台以速度 循转台转向沿圆周 走动，同时另2人相对圆台以速度 逆圆台转向沿圆周 走动，求圆台这

13、时的角速度 等于多少？,B,O,R,A,解：,对象：,条件分析：,转台 刚体,4个人 质点组,受重力及轴的支托力， 且皆与转轴平行，知,由于系统只,以地面为参考系,状态分析：,转台 台边2人 台中2人,转 台 台边2人 台中2人,，故系统角动量守恒。,人走动前,人走动后,依角动量守恒定律列方程,解得：,结论：,多物体组成的系统的角动量可叠加,例14.一块宽L=0.60m、质量M=1kg的均匀薄木板，可绕水平固定轴无摩擦地自由转动。当木板静止在平衡位置时，有一质量为m =1010-3kg的子弹垂直击中木板A点，A离转轴的距离 l = 0.36m，子弹击中木板前的速度为500 ms-1，穿出木板后

14、的速度为200ms-1。求：子弹给予木板的冲量，木板获得的角速度。（木板绕轴的转动惯量J = ML2/3）,O,A,L,解：,子弹的冲量为,子弹给予木板的冲量为：,l,子弹射入并穿出木板，系统的角动量守恒。,解得：,质点平动,刚体定轴转动,速度,加速度,质量 m,角速度,角加速度,转动惯量,牛顿第二定律,转动定律,动量,角动量,动量定理,角动量定理,质点平动和刚体定轴转动的比较,力矩,角动量,质点平动,刚体定轴转动,力的功,力矩的功,平动能,转动能,动能定理,转动动能定理,重力势能,重力势能,机械能守恒定律,只有保守力作功，,机械能守恒定律,只有保守力作功，,动量守恒定律：,角动量守恒定律：,

15、本章小结,主要公式：,转动惯量,刚体的角动量,力矩,角动量定理,角动量守恒定律,转动定律,基本要求：,了解转动惯量概念，理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。,复 习,功,力矩作的功：,转动动能定理,力作的功：,机械能守恒定律,只有保守力作功时，,角动量定理,质点：,刚体：,角动量守恒定理,角动量,质点：,刚体：,复 习,角量与线量的关系：,复 习,转动定律,转动惯量,功,力矩作的功：,转动动能定理,力作的功：,机械能守恒定律,只有保守力作功时，,d,R,例5.求质量为m，半径为R的细圆环对过环心垂直于环面的转轴的转动惯量。,圆环的线密度为,dl,解：,=m/2R,环上取小质元 dm ，则,dm= dl = Rd,下图中，滑轮两边张力不相同 ，两物体的加速度相同。（绳不可伸长）,应用该定理时只需分析始态与末态。, 是相对量。,3.说明,转动动能定理的表达式为标量式。,机械能守恒定律：,只有保守力作功时，,刚体对转轴的角动量：,刚体的角动量定理：,刚体的角动量守恒定理：,例9.两类冲击摆如图所示。(a)中M长为l的均质杆，而(b)中M由长为l的轻绳悬挂。现有质量为m的子弹以速度 水平射入M下端后不穿出。求(a)、(b)两种情况下，子弹m陷入M后共同的速度大小。,解：,系统,(a),系统的动