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文档简介

1、2.2 柯西定理,复变函数积分规律的探究 归纳 如果函数f(z)在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定 猜想 如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线 （包括边界线）的路积分有：,证明(略，详见教材),推广 规律 若f(z)在闭复通区域 B 中解析，则f(z) 沿所有边界线正方向积分之和为零。 证明(略)： 提示把复通区域做割线，得单通区域，根据单通区域的柯西定理,正方向：沿边界线的正方向环绕时， 保持在左边。,连续变形闭合回路变形时不能跨过 f(z)不解析的区域。,柯西定理统一表述： 解析函数沿所有边界线正向积分为零； 起点和终点固定时，积分

2、路径在解析区域中连续变形时不改变路积分的值。,闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针积分等于沿所有 内边界线逆时针积分之和,公式:,2.3不定积分,不定积分 概念 上限为变量的路积分称为不定积分 分析 如被积函数f(z)在单连通区域B上解析，则不定积分单值。 如被积函数f(z)在复连通区域B上解析，则不定积分多值； 原函数 概念 如f(z)在单连通区域B上解析，则不定积分,在B上定义了一个单值解析函数，称为f(z)的原函数，,解析函数的积分归结为寻找其原函数的问题,性质 设F(z)是f(z)的原函数，则 F(z)=f(z) 如果允许相差一个任意常数，则不定积分可以写成 F(z) = f(z)

3、dz 求原函数 在原函数存在的情况下，复积分与实积分只是变量不同，形式上没有任何区别，其原函数的计算方法和结果与实数情况完全类似。 例如: zn dz = zn+1/(n+1) cos(z)dz = sin(z) sin(z)dz = - cos(z) exp(z)dz = exp(z),例1.计算,解：函数 在复平面内解析， 是它的一个原函数， 所以,例3.计算积分,解：,当n0时，,当n0时，,如果n-1时，,如果n-1时，,总结起来：,这是一个很重要的结果，由它可以导出一系列重要结论。,2.4 柯西公式 公式： 若f(z)在闭单连通区域上解析，l为的境界线，a为域内的任一点，有柯西公式（也称柯西积分公式）,证明：,注意：,推广：,意义： 解析函数的整体性：边界值完全决定内部值； 解析函数的可导性：一次可导 =无限次可导。 物理意义：解析函数与平面标量场相联系，而平面场的边界条件决定着区域内部的场。 应用： 计算上 简化路积分的计算。,应用举例,例1. 计算回路积分,分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a = -1,解：由柯西公式,例2 问题：计算回路积分,方法一:,方法二:,本章小结,路积分 复变函数的路积分可分解为2个线积分； 一般情况下，路积分与积分路径有关； 柯西定理 在单连通区域内解析，则路积

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