5.2二项式系数的性质.ppt

1、复习回顾,1,2,3,n,1,2,3,二项式定理及展开式:,1,3,5.2 二 项 式 定 理,二项式系数的性质,1,2,二项式系数的性质,二项式系数表,详解九章算法记载的表,杨辉 三角,杨辉,以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在详解九章算法一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这

2、就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。,a).表中每行两端都是1。,b).除1外的每一个数都等 于它肩上两个数的和。,4+6=10,当n不大时，可用该表来求二项式系数。,二项式系数的性质,二项式系数的性质,对称,函数定义：如果A、B都是非空数集，那A到B的映射f ：AB就叫做A到B的函数。,可看成是集合0，1，n,到二项式系数的集合,的映射。, 对于二项式系数，r与 之间也有对应关系，即：,r 0 1 2 r n,二项式系数与函数,从映射、函数的观点看，二项式系数可以看作是一个定义域为 0，1，2，n的函数当自变量从小到大依次取值时对应

3、的一列函数值。,即：r是自变量，,二项式系数是函数值，,组合数公式就是相应函数的解析式。,1,2,3,二,项,式,二项式系数与函数,当n=6时，二项式系数 （0r6）用图象表示：,1,3,n,1,2,3,2,2n,与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等,1：对称性,2：增减性与最大值,先增后减,关于r= 3对称,r=3时取得最大值,f（r）,n为奇数； 如n=7,3,n为偶数； 如n=6,关于r=n/2对称,r=3和r=4时取得最大值,二项式系数的性质,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,性质1：对称性,性质2：增减性与最大值,先增后减,当n是偶数时，中间的一项 的二项式系数 取得

4、最大值 ；,当n是奇数时，中间的两项 二项式系数 和 相等，且 同时取得最大值。,当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。,当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；,当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值。,因而,2.增减性与最大值,性质3：各二项式系数的和,二项式系数的性质,2n,+ + + +,令x=1；,令x=-1；,0,1、在(ab)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).,C,课堂练习:,A.第6项 B.第7项C.第6项和第7项 D.第5项和第7项,C,A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项,2、在(ab)11展开式中，二项式系数最大的项( ).,3， 已知 展开式中只有第10 项二项式系数最大，则n=_。,18,证明：,就是,上述证明过程中用到了什么方法？,例题讲解,变式练习：,则,简解:,-2,-1094,1093,1,2,3,n,1,2,3,注意：,求解二项式系数和时， 灵活运用赋值法可以使问 题简单化。通常选取赋值 时取1，1，0。,小结:,（3