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文档简介

3. 除环和域,3.1 除环与域的定义 3.2 例子 3.3 四元除环(Quaternions),例1 全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法来说显 然是一个环。这个环的一个任意元非零元a可逆.除环和域就是刻画这一类代数系统. 例2 R只包括一个元a，加法和乘法是： a+a=a, aa=a R显然是一个环。这个环R的唯一的元有一个逆元，就是的本身。除环和域的定义要排除这一种极端情况.,3.1 除环与域的定义,定义 1 一个环R叫做一个除环，假如 R至少包含一个不等于零的元； R有一个单位元； R的每一个不等于零的元有一个逆元。 注: 这个定义的起点是环,如果以集合为起点呢? 定义 1 一个至少含两个元素的集合R叫做一个除环，假如:R上有加法和乘法两种运算,且 R是一个加法群； R*=R/0是乘法群； 两个分配律成立。,3.1 除环与域的定义,定义 一个交换除环叫做一个域。,例3 R=所以复数对（ ）。这里 ，当而且只当 的时候。R的加法和乘法是 这里 表示的是共轭数：,这个环叫做四元数除环 这个环叫做四元数除环,

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