第三章 简单的优化模型-清华大学数学模型电子教案.ppt

1、第三章简单优化模型，3.1仓储模型，3.2生猪销售机会，3.3森林灭火，3.4最优价格，3.5血管分支，3.6消费者均衡，3.7冰山运输，现实世界中普遍存在优化问题。静态优化问题意味着最优解是数字(不是函数)。建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定合适的目标函数。静态优化模型一般采用微分法、静态优化模型、3.1存储模型和问题求解。零件厂为装配线生产几种产品。旋转产品时，支付更换设备的生产准备费，当产量超过需求时，支付仓储费。这家工厂的生产能力很大，也就是说，所需的数量可以在短时间内生产出来。据了解，一件产品的日需求量为100件，生产准备费用为5000元，仓储费用为每天每件1元。尽量安排产

2、品的生产计划，即生产多少天(生产周期)，每次生产多少，从而使总成本最小化。要问，不仅要回答问题，还要建立生产周期、产量和需求、准备成本和储存成本之间的关系。问题分析和思考，每天生产一次，每次100件，不收保管费，准备费5000元。日需求量为100件，准备费用为5000元，储存费用为每天每件1元。每10天生产1000件，仓储费900 800 100=4500元，准备费5000元，合计9500元。每50天生产一次5000件，仓储费4900 4800 100=122500元，准备费5000元，合计127500元。平均每日费用为950元，平均每日费用为2550元。每10天生产一次的平均日成本是最小的吗

3、？日成本为5000元，这是一个优化问题，关键在于建立目标函数。显然，一个周期的总成本不能作为目标函数。目标函数的日总成本平均值有短周期、小产出、长周期和大产出、问题分析和思考以及模型假设。1.产品的日需求量是常数r；2.每件产品的制作费为c1，每天每件产品的仓储费为C2；每3年生产一次。t天(周期)，每次生产Q件。当存储容量为零时，Q件产品将立即到来(不计算生产时间)；为了建模的目的，让r，c1，c2是已知的，并且找到T，Q来最小化平均每日总成本。为了方便起见，时间和输出被视为连续量。建立了模型，存储容量表示为时间的函数q(t)，t=0生产Q件，q(0)=Q，q(t)以需求率r递减，q(T)=

4、0。一个周期的总成本和每天总成本的平均值(目标函数)，离散问题是连续的，并且一个周期的存储成本是a=Qt R=100，回答这个问题，经济批量订购公式(EOQ公式)，日需求量R，每个订单的费用c1，和日存储费用c2，它们都用于订购，供应和存储的情况，以及不允许货物短缺的存储模型。问：你为什么不考虑生产成本？在什么情况下我们不应该考虑它？每t天(周期)订购一次，每次订购q件，当储存量降至零时，q件将立即到达。允许货物短缺的存储模型，当存储容量降至零时，仍有需求，短缺发生，导致损失。最初的模型假设当存储容量降至零时，将立即生产(或立即到达)Q件。现在假设允许短缺，每天每件短缺的损失成本为c3，需要弥

5、补短缺。一个周期存储费用，一个周期短缺费用，周期T，t=T1存储容量下降到零，一个周期。平均每日总成本(目标函数)，一个周期内的总成本，并要求T和Q，与不允许短缺的存储模型进行比较。T标记为T，Q标记为Q，不允许短缺的型号，记住、允许短缺的型号，以及允许短缺的型号。注：短缺需要补充，Q在每周初储存，每周期产量(或订单数量)，Q不允许短缺。目前市场价格是每公斤8元，但预计0.1元将每天下降。问什么时候，分析认为，投资使猪的体重随时间增加，而销售单价随时间降低，因此存在利润最大化的最佳销售机会，这样t使Q(t)最大化，并且在销售10天后，你可以获得更多的利润。20元，建模与求解，猪重w=80 rt

6、，销售价格p=8-gt，销售收入R=pw，资本投资C=4t，利润Q。如果目前出售，利润为808=640(元)，在t天内出售，Q(10)=660 640，g=0.1。敏感性分析，研究R和G的变化对模型结果的影响。假设G=0.1不变，T对R的(相对)敏感性，猪的日增重增加1。敏感性分析，研究R和G的变化对模型结果的影响，假设r=2不变，T对G的(相对)敏感性，生猪价格G的日跌幅增加1%，销售时间提前3%。稳健性分析，养生猪直到利润的增加等于日成本，由S(t，r)=3，建议一周后重新估算(t=7)，然后再做计算。为了研究r和g对模型结果的影响，当它们不是常数时，w=80 rt w=w(t)，p=8-

7、gt p=p(t)，如果(10%)，那么(30%)，3.3森林火灾扑救，森林火灾后，应确定消防员的人数。玩家多，森林损失小，救援成本大；玩家少，森林损失大，救援成本低。综合考虑损失和救援费用，确定玩家数量。，问题分析，问题，记住玩家的数量x，开火时间t=0，开火时间t1，开火时间t2，在时间t森林燃烧区域B(t)，损失费用f1(x)是x的递减函数，由燃烧区域B(t2)决定，救援费用f2(x)是x的递增函数，由玩家的数量和开火时间决定，这是适当的。关键是对B(t)作出合理的简化假设。问题分析，火灾时间t=0，火灾扑救时间t1，火灾扑救时间t2，绘制出时间t时的森林燃烧面积B(t)的大概数字，很难

8、分析B(t)，而是讨论森林燃烧速度dB/dt。模型假设，3)f1(x)和B(t2) DB/dt与T成正比，系数(火蔓延速度)，2)t1tt2，简化为-x(团队成员的平均灭火速度)，4)每个团队成员的单位时间灭火费用c2，一次性费用c3，假设1)解释，火以火点为中心均匀地呈圆形蔓延，半径R与T成正比，模型建立，目标函数的总费用，对模型进行求解，发现x使C(x)最小化，结果解释了/是不继续传播火的玩家的最小数量，其中c1、c2、c3、t1是已知参数，模型被应用，c1、c2、c3是已知的，t1可以被估计，c2 x、c1、t1、x、c3、x，结果解释了c1烧了单位，可以设置一系列数值，玩家的数量由模型

9、x决定，3.4最优价格， 问题是，根据产品成本和市场需求，在生产和销售平衡的条件下确定商品价格，从而使利润最大化，假设1)产量等于销售量，记为X，2)收入与销售量X成正比，系数p是价格，3)支出与产量X成正比，系数q是成本，4)销售量X。X(p)是递减函数，建模和求解，收入，支出和利润。 此外，让利润最大化。满足最优价格p*，当边际收入等于边际支出时，利润最大。建模和求解，结果说明q/2的成本是一半，当B的价格上升1个单位时，销售量也是一半。3.5血管分支，背景，人体提供能量维持血管中的血液流动，给血管壁提供营养，克服血液流动的阻力，而能量消耗取决于血管的几何形状。在长期的进化中，动物血管的几

10、何形状已经达到了能量最小的原则。在最小能量原理下，粗细血管在血管分支处的半径比和分叉角，问题，模型假设，一根粗血管和两根细血管在分支点处对称地位于同一平面。血液流动类似于粘性流体在刚性管道中的运动。血液向血管壁的能量随着管壁的内表面积和体积的增加而增加。管壁的厚度大约与血管的半径成正比，q=2q1，r/r1？容器AC和CB、CB、在刚性管中运动的粘性流体、PA和C之间的压差、粘度系数、克服阻力的能量消耗、提供营养的能量消耗、管壁2rl的内表面面积、管壁体积(d2 2rd)l、管壁厚度D与R成比例、模型假设、模型建立、克服阻力的能量消耗、提供营养的能量消耗、身体为血流提供能量、模型求解等生物学家

11、：结果与观察结果大致一致。主动脉半径rmax，毛细血管半径rmin，从主动脉到毛细血管的分叉有n倍。观察：狗的血管总数，推断，n=？3.6消费者均衡、问题和消费者对两种商品的偏好用无差异曲线族表示。问他如何分配一定数量的钱来购买这两种商品，以达到最大的满意度。假设甲乙双方的数量为q1和q2，消费者的无差别曲线族(单调递减，向下凸，不相交)写成U (q1，q2)=C，U (q1，q2)效用函数，知道甲乙双方的P1和P2的价格，有S的钱，试图分配S，购买甲乙双方的Q1和Q2的数量使U(q1，Q2)最大化。或p1q1/p2q2最大化U(q1，q2)，几何解释，直线MN:最优解Q: MN和l2的切点，

12、斜率，结果解释，边际效用，和消费者均衡状态时达到的比率，效用函数U(q1，q2)应满足的条件，函数q2=q2(q1)由A确定。U(q1，q2)=c单调递减并向下凸，这说明了B的实际意义。效用函数u (Q1，q2)有几种常用的形式，而且在消费者的均衡状态下购买两种商品的成本之比与它们的价格之比的平方根成正比。U(q1，q2)参数分别显示了消费者对两种商品的偏好程度。购买两种商品的成本比率与它们的价格无关。U(q1，q2)中的参数分别表示甲、乙双方的偏好程度。思考：如何延伸到m (2)商品，几种常用的效用函数U(q1，q2)形式，3.7冰山运输，背景，波斯湾地区水资源缺乏，海水淡化成本为每立方米0

13、.1英镑。专家建议用拖轮从9600公里外运输冰山来替代淡化海水，并从经济角度研究冰山运输的可行性。建模准备，1。日租金和最大运输能力。油耗(英镑/公里)，3。融化速率(m/day)、建模准备、建模目的、选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米的水成本最低，与海水淡化成本相比，模型假设航行期间船速恒定，总距离为9600 km。每立方米冰可以融化0.85立方米的水。模型分析，目的水量，运输过程中的融化规律，总成本，模型建立，1。冰山融化规律，融化速率R(米/天)在船速U(公里/小时)和南极距离D(公里)之间，R是U的线性函数；在d4000，u与d无关。航行t天，t天融化率，1。冰山融化规则，冰山初始半径R0，t天半径，冰山初始体积，t天体积，总航行天数，选定u，V0，t天冰山体积，到达目的地时冰山体积，2。油耗，油耗q1(磅/公里)，q1与u成线性关系，与log10V成线性关系，航行第一天油耗q(磅/天)，总油耗成本，3。每立方米水的运输成本、冰山初始体积V0的日租金f (V0)(磅)、航行天数、总燃料消耗成本、拖船租赁成本、冰山运输成本、冰山到达目的地后获得的水量，3。每立方米水的运输成本、冰山总运输成本、每立方米水的运输成本模型求解，选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米