经济数学第4章 不定积分

1、,4.1 不定积分的概念与性质 4.2 不定积分的换元积分法 4.3 不定积分的分部积分法 4.4 积分表的用法,第4章 不定积分,结束,又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函数.,定义 设f (x) 在某区间上有定义，如果对该区间的任意点x都有 F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx 则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数.,4.1.1 原函数的概念,例如: ， 是函数 在 上的原函数. ,sin x是cos x在 上的原函数.,4.1 不定积分的概念与性质,(2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是

2、唯一的,且有无穷多个,注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在具体理由将在下一章给出,例如 而,在 上 是 的原函数,也是它的原函数,即 加任意常数都是 的原函数.,(3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.,此结论由Lagrange定理推论可证,定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那么f (x)的全体原函数F(x) C(C为任意常数)称为f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作,其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.,即,2.不定积分的概

3、念,例2 求,解,例1 求,解,例3 求,解,3 不定积分与微分的关系,微分运算与积分运算互为逆运算.,特别地，有,4.1.2不定积分的基本积分公式,例4 计算下列积分,解,例5 计算下列积分,解 (1),(2),4.1.3 不定积分的性质,性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面.,性质2可以推广到有限多个函数的情形，即,性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数 不定积分的和(或差)，即,例6 求,解,注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解

4、,解,例11 求,例12 求,解,有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但 经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数 的积分后，便可逐项积分求得结果如例912。,函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族.,4.1.4.不定积分的几何意义,在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x)处的切线斜率.,解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知,

5、因此所求曲线的方程为,4.2.1 第一类换元法,例1,原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而,所以有,4.2 换元积分法,综合上述分析，此题的正确解法如下：,解,定理1,根据不定积分的定义，则有,公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分”法,应用定理1求不定积分的步骤为,例2 求,解,解,例3 求,例4 求,解,例5 求,类似地，有,解,(2),(3),(4),(5),此外还可以得到一组积分公式：,4.2.2 第二类换元积分法,例6 求,解 作变

6、量代换,令 ,可将无理函数化为 有理函数的积分,所以有,一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形 式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要 将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想.,设 是单调可导的函数， 且,定理2,那么,应用第二类换元法求不定积分的步骤为,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解,例8例10中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.,一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：,补充的积分公式：,由函数乘积的微分公式,移项得,对上式两端同时积分，得,公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .,或,4.3 分部积分法,注意：,使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择u和v.,选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中要固定,即一般情况下，u与dv按以下规律选择,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,在计算积分时,有时需要同时使用换元积分法与分部积分法.,把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的.求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经过简单的变形后，在表内查得所