杆件结构的有限元法直接刚度法.ppt

1、第二章 杆件结构的有限元法 2-1 引言 杆的特点：只能承受拉力或压力 变形和位移的关系：,对于杆件系统： 式中 刚度矩阵 节点力向量 节点位移向量,杆件系统存在一个整体刚度（矩阵）。知道了这个刚度就可以由系统外力求出各节点的位移。这就是本小结应掌握的一个重要概念。 如何求出杆系的刚度矩阵呢？,2-2 弹簧系统的刚度矩阵 一 单个弹簧的刚度矩阵 弹簧系统是由节点（铰链）把一系列弹簧连接起来的系统。,如果把弹簧系统拆开，可以得到弹簧和铰链。 从其中取出任意一个弹簧，弹簧的两端会受到来自节点（铰链）的作用力。,单个弹簧两端节点的位移和力向量的关系是： 为了求出 ，将上图看作是两个简 单的系统，如下

2、图所示，然后合成。,（1）只有节点1可以变形，节点2固定 因为 所以 （2）只有节点2可以变形，节点1固定 这时 （3）叠加（1）（2），就得到与原式问题一样的结构。叠加结果为： 作用于节点1的合力 作用于节点2的合力,或 写成矩阵形式 上式可以简写为 其中 单元节点力向量 单元刚度矩阵,单元节点位移列向量 上式的特点 弹簧上的节点力是来自于铰链的 弹簧上的节点位移的值是唯一的 单元刚度矩阵的特点 对称 奇异,二 组合弹簧的刚度矩阵 对于图示的两个弹簧构成的系统。节点位移向量和节点力向量也可以写成 为了得到刚度矩阵，可以分成三步来做。,（1） ，只允许节点1有位移 ，可以 得到 由静力平衡条件

3、有 由于 ，没有力作用于节点3，因此 （2）让 ， ，可以类似的得到,（3）最后让 ， ，可以得到 （4）合成,上式可以简写为 上述过程可以用节点力平衡来完成。 为此，先写出单元的节点位移和节点力向量的关系式：,然后根据节点外力和内力（来自弹簧力）的平衡条件，可以得到： 节点1 节点2 节点3 所得结果与前面的一样。,实际操作时： 根据系统节点总数 形成一个空的 阶矩阵 根据单元刚度矩阵中元素所对应的节点号码，把元素放入上述矩阵中去求和。 例如：,合成后的结果 三 方程求解（约束条件的引入） 前述刚度矩阵奇异，方程 无解。 原因：含有刚体位移。,如果要求解弹性变形，必须施加约束条件，比如 则方

4、程成为 求解上式，可以得到系统各个节点的位移。,求出节点位移后，可以求出单元内力： 单元内力=单元刚度 （弹簧两端的相对位移） - 单元1的内力： - 单元2的内力： 由此总结出用有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤： （1）形成每个单元的刚度矩阵； （2）由各个单元的刚度矩阵按节点号叠加成整个系统的刚度矩阵；,（3）引入约束条件； （4）以节点位移为未知量求解线性代数方程组； （5）用每个单元的力-位移关系求得单元力。,例 如图所示弹簧系统由3根弹簧组成，k1=1200kN/m， k2=1800kN/m， k3=1500kN/m，节点1和4固定，在节点2和节点3处施加轴向力10kN和20

5、kN，求节点2、节点3的位移和节点1、节点4处的作用力。,解： （1）单元分划 一个弹簧为一个单元，一共3个单元，4个节点。 （2）形成每个单元的刚度矩阵 对于弹簧1-2（1单元）,对于弹簧2-3（2单元） 对于弹簧3-4（3单元）,（3）按节点力平衡条件，将单元刚度矩阵叠加成整个系统的总体刚度矩阵,（4）求解方程组 从已知条件：u1=0，u4=0，F1=?，F4=?； F2=10kN，F3=20kN， u2=?， u3=? 可知边界条件的特点为：节点位移给定，力待求；力给定，位移待求。 因为u1和u4已经给出，所以只需列出关于求解u2和u3的两个方程。为此，将原方程组简化为 解得u2=0.0

6、103603m， u3=0.0117117m。,将u1、 u2、u3、和u4代入原系统方程，可解得节点1和节点4的作用力 校核,2-3 杆件系统的有限元法 一 铰支杆系的有限元计算格式 杆结构：由直杆在杆端铰接而成。特点： 铰接点不能承受力矩 必须对杆结构施加约束，以防止它产生刚体运动 杆只能承受轴向力 整体杆结构在外力作用下不垮掉 载荷作用在节点上 杆可以水平，垂直，或倾斜。,（1）杆单元的刚度矩阵 杆的应力与应变的关系为： 其中 所以刚度为：,（2）局部坐标系下的单元刚度矩阵 杆在平面上方向任意，单元节点位移 为了便于求解，建立两个坐标系：基于杆单元的 局部坐标系和用于描述杆系的总体坐标系

7、。 单元局部坐标系 ， 沿杆长方向，与总 体坐标系的 夹角为 ， 垂直于杆长方向。,在节点1处： ；在节点2处： 局部坐标系下的单元刚度矩阵为 或 杆件不能承受与杆长垂直的力； 杆件两端不会在 的作 用下，发生与杆长垂直方向的位移。,（3） 局部坐标系和总体坐标系的关系 为了根据节点的力平衡条件建立杆系总体刚度矩 阵，必须将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换到 总体坐标系下。,节点1处： 两边同乘 ，有 同理，由 可得 合起来写作：,类似，可以得到节点2处的力关系。 由此可得单元力在局部坐标系和总体坐标系件的 关系是 或 其中： ， 为矢量变换矩阵,节点位移也是矢量，其在局部坐标系和总体坐标 系中

8、的变换关系与力的变换关系相同 根据力和位移的变换关系，就可以把局部坐标系 下的单元刚度矩阵，转换成总体坐标系下的单元 刚度矩阵。,（4）总体坐标系下的单元刚度矩阵 将 和 代入局部坐标 系下的单元刚度矩阵 中 两端同乘 ，并注意到 ，有 即 其中：,写成显式为 其中：,（5）总体刚度矩阵 将单元刚度矩阵合成，得到 求解出节点位移后，即可计算杆的内力： 式中： 杆单元的节点总体编号。,例 图示杆件系统。节点1、3固定，节点2处受 力 。所有材料相同，弹性模量E，截面 积A。求各杆受力。,解：按照有限元步骤求解。 （1）单元刚度矩阵 求解关键：确定各杆的方向。 单元1（节点1-2）： 单元2 （节

9、点1-3）： 单元3 （节点2-3）： 由此可的单元刚度矩阵： 单元1：,单元2： 单元3：,（2）合成 整个系统有3个节点，每个节点有两 个自由度，故总刚矩阵为 阶,将实际值代入 因为 ，所以最后只有两个方 程 改写为,由此可以求出：,各杆受力 如果 ，则,二 刚阵存储和节点排列 铰支杆系统每个节点有两个自由度，系统节点数 为n时，总体刚度矩阵的阶数为 。 如果节点数n=1000，那么总体刚度矩阵中包含的 元素为 个。 为了提高计算机的运行速度和节省计算机的内存 空间，有必要研究总体刚度矩阵中元素的分布情 况。 对于铰支杆系统，每一个单元只有两个节点，单 元刚度矩阵中的元素数为 个。,设单元

10、节点的总体编号为i和j，将单元刚度矩阵 合成为总体刚度矩阵后，单元刚度矩阵中的16个 元素在总体刚度矩阵中的位置为,总体刚度矩阵的特点： （1）对称；（2）稀疏；（3）带状分布。 刚度矩阵中的元素以主对角线元素为对称，成带 状分布。带内有些是零元素，带外全部是零元素。 为了节约存储空间，可以只存带内一半的元素。 带的宽度与单元两节点的总体编号的差值有关。 刚度矩阵的最大半带宽 =节点自由度数*（单元中节点最大编号差+1） 差值越小，带越窄。为此，应尽量缩小同一单元 内节点编号差值的最大值。 为了做到这一点，节点编号的方式是有讲究的。,例两弹簧系统。 解：采用图示编号方案，总刚矩阵为,采用如下编号方案 总体刚度矩阵为,图示铰支杆系统，应该怎么样编号？最大半带宽 等于多少？需要存储多少个元素？,结论： 为了减少半带宽，应顺着结构窄的方向编号，沿着结构长的方向运动。 大型问题的等带宽存储量，只有满阵存储的10%20%。,小结 （1）本章介绍的方法称为直接刚度法。 （2）总刚矩阵对称、稀疏，主对角线上的元