二用数学归纳法证明不等式 (2).ppt

1、数学归纳法及其应用举例,第一课时,观察：63+3，85+3，103+7，125+7，143+ 11，165+11，7867+11，我们能得出什么结论？ 任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和 一个袋子里共有18个球，要判断这一袋球是红球,还是白球,请问怎么办？ 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法 完全归纳法： 为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的所有元素并归纳得出结论。 不完全归法： 为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的特有几个或部分元素并归纳得出结论。,哥德巴赫猜想,不完全归纳法,完全归纳法,1.在等差数列an中，已知首项为a1

2、，公差为d，那么 a1=a1+0d, a2=a1+1d, a3=a1+2d, a4=a1+3d, , an=?,2比较2n与n2+2 (nN*)的大小,验证可知：n=1、2、3、4都有2nn2+2,完全归纳法： 优点：考查全面，结论正确。 缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查。 不完全归法： 优点：考查对象少，得出结论快。 缺点 ：观察片面化，结论不一定正确。,若盒子里的乒乓球有无数个，如何证明它们全是白球呢？ 证明第一次拿出的乒乓球是白球的； 构造一个命题并证明，此命题的题设是：“若某一次拿出的是白球”，结论是：“下次拿出的球也是白球”。以上两步都被证明，则盒子中的乒乓球全是白球。 1.

3、n=1时拿出的是白球 2.假设当n=k(kN*)时拿出的是白球，则当n=k+1时拿出的也是白球. 由1、2可知盒子里的的乒乓球全是白球,数学归纳法 1.先证明当n 取第一个值n0(如n0=1)时命题成立 2.假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立， 由1、2可知命题对大于等于n0的所有自然数都成立,例1用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2 证明：1.当n=1时 左1，右121 n=1时，命题成立 2.假设n=k时，命题成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，当n=k+1时 左1+3+5+(2k1)(2k+1) =k2+2k+1 =(k+1)2=右

4、即n=k+1时命题成立 由1、2知原命题对nN*都成立,递推基础,递推依据,例2.用数学归纳法证明 证明：1、当n=1时,左=12=1，右= n=1时，等式成立 2、假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时 左=12+22+k2+(k+1)2= =右 n=k+1时，原不等式成立 由1、2知当nN*时，原不等式都成立,例3.用数学归纳法证明：14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2,1)第一步应做什么？此时n0= ，左 ，,2)假设n=k时命题成立，即_,144,1,当n=2时，左，右。,2(21)2,当n=k时，等式左边共有项， 第(k1)项是 。,k,14+27,(k1) 3(k1)+1,14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2,144,1,n=1时等式成立。 假设n=k时，命题成立，即,那么，当n=k+1时，有,即n=k+1时，命题成立。 根据问可知，对nN，等式成立。,数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。 2、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 明确等式左端变形目标，掌握恒