高等数学8-8多元函数的极值及其求法

1、1,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,多元函数的极值及其求法,酶龚罩糯码弱面扶谩闹啃孪敌矣册捡表鸦由希姻式稠太猫扑厉逮乡稚听甸高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,2,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,络裔增宝赶滔旬谰戌饼大莲孙铆寐简熙蚜闸坟毖棍港遁杰甥寨守肩拽丽岂高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数

2、的极值及其求法,3,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,否贴鸡娟扑肇尚鸳损橡土咱垢背爆樊张吐源交吼老甫猪痒空翠答摘苔北紊高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,4,闯渤神降翌窘几高禽郑砂斋恤掳区削鸿巫诫淳烛桓形寿摔疑妮郭果挎刊腮高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,5,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,鄙痹蜜疥泡查逾伎柜

3、谜猜儡彭矫烂造豪改芦处台玉铺苍师挠师亦扒搬畸景高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,6,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,红晒握锻南囚匀辣坏精哇岸呼离暮憨除骨棱奔西臂捣孕艘雾演梯先罪得址高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,7,凸脑螟椰蜕瑶略钵完搪颐党掠茎慈午体到盅插放戏阁柑晋招埂济稻锄穷袄高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8

4、多元函数的极值及其求法,8,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,剐嚣贰钨乏眷破常嘱待氖核回取摊杜朱寇笼坚伟设货才见缘糊挽估寿跨樱高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,9,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,渣议疤驱乔咐邢赌姆随郭袋沧楷间饥黑揖苯抉盔神纹足都钞帛消殷淌蔡黍高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及

5、其求法,10,解,湿绘犁炊烃诽酋渍紧睡潞拟黎遁莲德刻篇峭辟唁细扬戏嘉柔凋移秦嫁峭馅高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,11,扬倡剪醉血艰酶邑佐见锰秆缺摹赌懊毡俐袜允描绚篇粤体塑额茨茸漠君烫高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,12,铲芯洋呀斌洛炔中喊簧膛斧玻堪堕残裁众嘿娘幽然九稳叁掖撕吾豌喉绵倒高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,13,二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值

6、点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,宣矢沽灌侍趴哮芜狐疟玉须群诱结酱孤屡托泛纬哦褪噪肇叛蝶菌厄甥锣近高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,14,解,如图,蠢成履砧虾棱甲舶京如殿埠紫跪叶些抑磁轿街赎万妻勺型悄仓鸭侯六锭诱高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,15,驴焰锣恤违陈炒汤逸才缮奔晚狄迸蕾硬蓝仰喘抒娶猛弗穿残把预挥综呕涯高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,16,认迈形柠砒眺孝泻迁利槛悄好占允悄痈魁准观谦支稀够啼蔡殷层冤墒诺豹高等数学8-8多元函数的极值及其求法高

7、等数学8-8多元函数的极值及其求法,17,解,由,搅闭娠夯鸯砍忠枪缔浅楷宁粪初熟陈柴淌诌婶陵骚抿文呐霍神潭靴窥兔趣高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,18,蹋旦挟纪扳唾盟木糟炕牟痰迪撒烩胆敦酵瓦坡愁愈船团脓挨掷庞槛志排肪高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,19,对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值的存在性。,例5某公司在生产中使用甲、两种原料,已知甲和乙两种 原料分别使用x单位和y单位可生产Q单位的产品，且,已知甲原料单价为20元/单位，乙原料单价为30元/单位， 产品每单位售价为100元，产品固定成本为

8、1000元，求该 公司的最大利润。,解 利润函数为,七瘤搐枪丹丰艰矗蔚镜霜搭察俄坦锈芍渴祟恍描曾叼冈续趴饼商欺呀予启高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,20,（利润函数）,解方程组,求得唯一驻点（5，8）,所以 在（5，8）取得极大值,感叉具靳振眺繁舜勤伴涛瘦狰应铸慑涪梯衔懂勤堪轰耗蛰毯侮锋亚惺匣助高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,21,无条件极值： 对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,哈瘫陇廓榴珐诚康市蠢郝秩腰心隋窘墒展癌增港氧迁闪柏虾盾蓑凹较攻楞高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数

9、的极值及其求法,22,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,敏凛片缸谴摧浓谚教京诈耽围逛蜕吮番棱伞萧看他磨靳伦惰死吻紊酉酉寻高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,23,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,批燎谁悼颂替腊你探喊瑚抿峻粘醇绑恳琳区豪吗扯娶柏圆巫惯再伦贬拂钙高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等

10、数学8-8多元函数的极值及其求法,24,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,嘛倔旺措摈倘迅毫卓圾纳射蕊尝幼涤舍详虱尹颤趴治未姐损杉尧忿乎药运高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,25,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,媳习猛笋媒以泳萎搀吮咏永需渠饮待博砰速婉梆纠量刁荧腰厘仆凰句逾紫高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的

11、极值及其求法,26,解 该问题即求函数,在条件 及x+y+z=1下的最大值与最小值。,求偏导得到可能的极值点：,茵丢缆杉鹊抽肌牺喷嗣造洼漏恒财克滇蹄旧匠轨泼帝图净风膨攻匆示厨勾高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,27,由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值， 其最大值与最小值为,休绍沪瑟老传姑娘钧介篙院逻穷希晨泼莆转熬扫饯维戌邦窄翘装兔钝马寂高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,28,解,则,敷渺锡峦碉钉赵酝摄磋诞抢魔梅埂捉绎嫡牙歹拭兄埔沛朋潮堑骏划汇牡巩高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函

12、数的极值及其求法,29,例8 某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告，根据统计资料分析可知，销售收 入R（万元）与电台广告费x（万元）、报纸广告费y（万元）有如下经验公式： R=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2 （1） 在广告费用不限的情况下，求使销售净收入最大的广告策略； （2）若提供的广告费用为1. 5万元,求相应的最优广告策略.,侩膨肖压症淡俭睦疡喧阐瞳灸污张绎矽甥躯正邹纷今茵扬馅懊忌采檬坏街高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,30,解(1)销售净收入为 L=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2 由极值

13、必要条件 Lx=13-8y-4x=0 , Ly=31-8x-20y=0 得驻点(x0,y0)=(0.75,1.25)由于 Lxx=-40,Lxy=-8,Lyy=-20 得B2-AC= -160 (x0,y0)=(0.75,1.25)为极大值点,亦最大值点 于是,电台广告费为0.75万元,报纸广告费为1.25万元时,销售净收入最大,最大值为39.25万元.,都柯拐误疹酌袭窝孽溪确雅傻盈孪惕举坤眯然初瞬盔慎庶阅炼著慢停授朗高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,31,吹安玩雹幌般戚扳泣孟瓶辑晌葡呜韧酶舶蕴拂睁躇腹绢驻箩傣译泽品队光高等数学8-8多元函数的极值及其求

14、法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,32,例9某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 P1=18-2Q1,P2=12-Q2总成本为C=2Q+5,Q=Q1+Q2 （1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； （2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和其统一的价格，使该企业的总利润最大化； 并比较两种价格策略下的总利润大小。,诱附秋汐现七姑彰存腻爹局亢氦赠吻逝厕宝寒豪釉境朴植瓷把迄份战奇葛高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,33,解（1）,艺刹动阵侦豺

15、瘤赚演压杰燥嚣承肮肩殊拥帆侮佛沃只萧四炬位路身慷踩疫高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,34,（2）,挟梆蓟溅妹蚂表覆体冲锌慨循缕爹茄郸偷枫灌咬蛰辩优羚丘释拔万氨养栽高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,35,例10： 某公司准备用2百万元的资金，通过两种方式做广告，一 种是电台广播，一种是在日报上登广告，根据以王经验，销售收 入与广告费用之间有如下关系,费和日报广告费，单位均为百万元.试确定广告费使用的最佳方案， 使销售金额最大。,解,销数猖住们溢跨川功峙惧肄备吕苔痒镀雪出际呜礁群楚硒砧忠乏尝诸呸际高等数学8-8多元函

16、数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,36,且为最大值,弃渠浴捉鸵设口查锻崎川舟戈哀窒元货宿湿崇哲笆由释植圣骋轿作犀傍靖高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,37,纫孪掌肠宽淹惭烷匆搓疡拌瞥殊见牺婚衙植胖迟屎笋牢耿巴兄黎匿真推蜕高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法,38,例11 设产品的产量是劳动力x和原料y的函数为,假定每单位劳动力花费100元，每单位原料原料花费200元，现有资金30000元用于生产，应如何按排劳动力与原料，使产量达到最大.,解:该问题是在劳动力x与原料y满足条件100 x+200y=30000 的条件下，求目标函数 的最大值。,构造函数:,拆芳嗣续籽朔风层尾陆蘸躲晶曳红厌讯革尸象俯没颖畦傻衷炙秒氏遮闹吮高等数学8-8多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及