第5章---两点边值问题求解方法.ppt

1、航空航天中的计算方法,授课教师：陈琪锋 中南大学航空航天学院,第二部分 边值问题求解方法,第5章 两点边值问题求解方法,2020/8/5,内容提要,5.1常微分方程边值问题的概念 5.2打靶法 5.3有限差分法 5.4有限元法 1 Part 3: Two-Point Boundary Value Problems. 2 David L. Darmofal, Computational Methods in Aerospace Engineering (Lecture Notes), MIT, 2005. Chap11,12. 3 清华大学数学系编，现代应用数学手册计算方法分册（第十一章，常微分

2、方程边值问题的数值方法），北京出版社，1990.,2020/8/5,5.1 常微分方程边值问题的概念 对于常微分方程： 其中 ，x为标量， y和 f 为m维向量。在 上求解之需要m个定解条件，若定解条件的形式为： 其中 g为m维向量。则该问题称为两点边值问题（TPBVP， Two Point Boundary Value Problem）。 如果边值条件形式可写为： 其中gL和gR的维数之和等于m，则边界条件为分离的。,5.1 常微分方程边值问题的概念,2020/8/5,5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题： 变换： 考虑初值问题： 初值问题的解为： 找到满足：,5.2 打靶法,如何求

3、？,2020/8/5,打靶法的几何解释：,5.2 打靶法,打靶：求解初值问题,2020/8/5,5.1.1 割线法 以两个不同的值求解初值问题，得到两个解： 根据初值条件知： 假设 是的线性函数，可取 为： 迭代求解公式： 结束条件：,5.2 打靶法,2020/8/5,割线法的几何解释：,5.2 打靶法,线性近似：按割线求根,2020/8/5,5.1.2 牛顿法 求解非线性方程（组）： 在已知初值0的处Taylor展开： 线性近似： 迭代求解公式： 结束条件：,5.2 打靶法,2020/8/5,差分法求偏导数 或采用其它数值微分方法。 f 可微时解偏导数微分方程 微分方程对求偏导：,5.2 打

4、靶法,初值问题，可解！,（与割线法等价）,割线代替切线,2020/8/5,每一步迭代求解初值问题 其中： 解得： 得到的终端值和对的偏导数：,5.2 打靶法,2020/8/5,作业题5： 用牛顿打靶法求解两点边值问题 迭代初始条件取 。,5.2 打靶法,2020/8/5,5.3 有限差分法 以二阶系统为例，边值问题： 有限差分近似 将区间 等分为N个子区间 将 在xi处Taylor展开：,5.3 有限差分法,用差分近似代替微分，将微分方程化为代数方程求解,2020/8/5,若取x=xi+1=x+ih： 忽略二阶以上部分，得一阶导数的前向差分近似： 若取x=xi-1=x-ih： 忽略二阶以上部分

5、，得一阶导数的后向差分近似：,5.3 有限差分法,一阶精度,一阶精度,2020/8/5,xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相减，忽略三阶以上部分，得 一阶导数的中心差分近似： xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相加，忽略四阶以上部分，得 二阶导数中心差分近似： 三阶导数的中心差分近似？,5.3 有限差分法,二阶精度,二阶精度,2020/8/5,xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相减，忽略五阶以上部分： xi+2和xi-2在xi处的Taylor展开相减，忽略五阶以上部分： 三阶导数的中心差分近似： 四阶导数的中心差分近似：,5.3 有限差分法,二阶精度,二阶精度,2

6、020/8/5,有限差分法解微分方程两点边值问题 微分方程 离散化，将区间 等分为N个子区间： 在节点上应用中心差分公式，得到代数方程组：,5.3 有限差分法,2020/8/5,有限差分法解微分方程两点边值问题的几何解释,5.3 有限差分法,离散点：微分用有限差分近似,2020/8/5,例5.1：用有限差分法求解两点边值问题 取离散化区间h=0.1，N=10。,5.3 有限差分法,2020/8/5,线性方程组： 即：,5.3 有限差分法,2020/8/5,5.4 有限元法 以二阶系统为例，考虑边值问题： 5.4.1 投影类方法的基本思想 以一简单函数 近似y(x)，给出连续近似解，例如： 一般

7、形式： ， 已知， 待定。 残差： 某种意义上使残差最小，则得到某种准则下最佳的近似解。,5.4 有限元法,2020/8/5,区间残差平方和最小：最小二乘法 若干特定点处残差为零：配点法 加权残差为零：加权残差法 Galerkin法： 。,5.4 有限元法,计算复杂，不常用,为权函数,2020/8/5,例5.2：考虑两点边值问题 解析解为： 试用配点法和加强残差法求解该问题近似解。,5.4 有限元法,2020/8/5,5.4 有限元法,解析解,2020/8/5,设近似解的形式： 基函数的选择示例： 为满足边值条件要求 取二次函数 以及三次项 N=2 （1）配点法 近似解的残差 令N个点处残差为

8、零求解系数，如,5.4 有限元法,线性函数不满足,配点？,2020/8/5,（2）加权残差法 要求： Galerkin法，取 即：,5.4 有限元法,2020/8/5,5.4 有限元法,配点法、Galerkin加权残差法与精确解的比较,2020/8/5,5.4.2 有限元法的基本思想 将区域（区间）划分为小的单元，在单元上表示近似解 以及求残差加权积分。 第i个单元，Ei， ， 在每个单元上解用多项式近似； 在每个单元上计算加权残差； 根据各单元满足的方程确定多项式近似解的系数。,5.4 有限元法,局部近似，分段光滑,可以用简单的低阶近似,2020/8/5,5.4.3 有限元法：线性元为例 解

9、在每个单元上采用x的线性函数近似表示。,5.4 有限元法,2020/8/5,线性函数具有2个自由度：由两个端点的函数值确定； N个线性单元，近似连续函数，N+1个自由度：由N+1 个节点的函数值唯一确定。 设近似解表达为： 由 可知,5.4 有限元法,线性函数,2020/8/5,近似解可以用节点基函数表示为： 节点基函数 在节点 j 处： 由于 近似表达式中 取值的任意性，可知：,5.4 有限元法,节点基函数的特性,2020/8/5,对于线性元，节点基函数在每个单元内是线性函数：,5.4 有限元法,第i 个节点基函 数的几何表示,2020/8/5,节点函数值的求解：加权残差Galerkin法

10、近似解的节点基函数表示： Galerkin法求 ，即解方程组： 其中： （对于示例二阶系统） 即： 分部积分：,5.4 有限元法,2020/8/5,在第i个单元内，Ei：,5.4 有限元法,单元内 为连续函数,2020/8/5,方程组： 当 时方程为： 当 时方程为： 当 时方程为：,5.4 有限元法,2020/8/5,给定边值条件： 上述N+1个方程可解出N+1个未知量： 最终得到问题的解：,5.4 有限元法,2020/8/5,例5.2（续）：两点边值问题 用线性元和加权残差Galerkin法得到N+1个方程： 给定： ，可求解剩余N+1个未知数。,5.4 有限元法,2020/8/5,高斯求积 将积分表示为被积函数在若干点处的函数值加权和： 若适当选取 和 ，可使公式对次数 2N+1的多项式被积 函数均精确成立（具有2N+1次代数精度），这类公式称为 高斯求积公式。节点 称为高斯点。,5.4 有限元法,2020/8/5,例： N=0时，只能实现对1次多项式精确满足，对比系数，得： N=1时，不大于3次的多项式可精确满足，对比