第3章光学谐振腔与激光模式.ppt

1、第3章 光学谐振腔与激光模式,研究方法：,几何光学分析方法； 2、矩阵光学分析方法； 3、波动光学分析方法,几何光学分析方法； 出 发 点：将光看成光线用几何光学方法来处理 应用条件：几何损耗远大于衍射损耗 优 点：简便、直观 缺 点：得不到腔的衍射损耗；不能深入分析腔模特性,2、矩阵光学分析方法； 出 发 点：使用矩阵代数的方法研究光学问题，将几何光线和激光 束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写。 应用范围：推导出谐振腔的稳定性条件 优 点：处理问题简明、规范，易于用计算机求解,3、波动光学分析方法 出 发 点：波动光学的菲涅耳基尔霍夫衍射积分理论，建立一个描 述光学谐振腔模式特性的

2、本征积分方程 应用范围：求任意光腔的模式，得到场的振幅、相位分布，谐振频率 以及衍射损耗等腔模特性 优 点：是一种比较普遍和严格的理论,3.1 光学谐振腔的构成和分类,3.1.1 谐振腔的分类,(b)闭腔,(a)开腔,(c)气体波导腔,侧面没有边界,3.1.2 典型开放式光学谐振腔,3.2 激光模式,光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式,从光子学的角度来看是腔内可以区分的一种光子态（纵模、横模） 。,腔与模的关系： 腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔的边界条件决定 1）不同的腔，模式不同； 2）腔给定，模式确定,3.2.1 驻波与谐振频率,形成稳定振荡条件：入射光与反射光满足相

3、长干涉,两束光的相位差：,有多种介质,非均匀分布的介质,q为整数,谐振波长：,谐振频率：,3.2.2 纵模,q通常非常大（纵模的序数）,两个相邻纵模频率差：,vq与q无关，对一定的腔为一常数,看P36例题,3.2.3 横模,总结：,（1）纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定的光场分布，只有同时运用纵模和横模概念，才能全面反映腔内光场分布； （2）不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率，但不同纵模光场分布之间差异很小，不能用肉眼观察到，只能从频率的差异区分它们；不同的横模，由于其光场分布差异较大，很容易从光斑图形来区分。,3.3 光学谐振腔的损耗,3.3.1 光腔的损耗,1、损耗

4、的种类,（1）几何损耗,（2）衍射损耗,（3）射出腔镜的透射损耗,（4）非激活吸收损耗、散射损耗,选择性损耗,非选择性损耗,与模式有关,与模式无关,光腔损耗大小决定了激光振荡阈值，达到稳定振荡状态腔内光腔，以及激光输出能量,2、平均单程损耗因子,I0,I1,为单程损耗因子：,如果是多因素引起的损耗：,3、损耗举例,（1）腔镜倾斜引起的几何损耗,例：,（2）衍射损耗,衍射光斑的第一极小值：,设：,得：,N为腔的菲涅耳数：从一面镜子的中心看到另一面镜子上可划分的菲涅耳半波带数。,（3）透射损耗,当r11，r21时,对于实际激光器而言，r1=1，r2=r1，即T1，所以,（4）吸收损耗,吸收系数：,

5、光在腔内往返一次：,单程损耗因子：,3.3.2 光子在腔内的平均寿命,m次往返,m次往返所需时间t：,其中：,当t=R时，,R为光子在腔内的平均寿命,设t时刻腔内光子数密度为n(t)，n0表示t=0时刻光子数密度,3.3.3 无源腔的品质因数Q值,：储存在腔内的总能量； P：单位时间内损耗的能量,腔的品质因数表示光腔的储能与损耗的特征。Q值大，表示光腔的储能好，损耗小，腔内光子寿命长。,请看书上的例题！,3.4 光学谐振腔的稳定性条件,问题1：什么是稳定腔？,光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸出腔外的谐振腔称为稳定谐振腔，简称稳定腔。,问题2：什么是非稳腔？,光线在谐振腔内往返有限次即横向

6、逸出腔外的谐振腔称为非稳定谐振腔，简称非稳腔。,符号规则：出射方向在光轴上方取 出射方向在光轴下方取,3.4.1 腔内光线往返传播的矩阵表示,1.光线矩阵,r符号规则：在光轴上方取 在光轴下方取,2.光线变换矩阵,符号规则：凹面镜R取 凸面镜R取,3）薄透镜的光线变换矩阵Tf,可得薄透镜对傍轴光线的变换矩阵为,由,符号规则：会聚 f 取 发散 f 取,3.光线在腔内往返传播的矩阵,若光线在腔内经n次往返，其参数的变换关系：,由薛尔凡斯特定理可知,3.4.2 共轴球面腔的稳定性条件,要近轴光线不逸出腔外,谐振腔稳定性条件,R的符号规则： 凹面镜向着腔内 R取 凸面镜向着腔内 R取,讨论,以g1

7、、 g2为轴可以画出稳区图,看书的例题,特点：稳定腔的几何损耗可以忽略,特点：非稳腔具有较高的几何损耗,特点：临界腔的性质介于稳定腔和非稳腔之间,平行平面腔,介稳腔,介稳腔,共心腔,稳定腔,对称共焦腔,3.5 光学谐振腔的衍射理论基础,3.5.1 自再现模,3.5.2 菲涅耳基尔霍夫衍射积分,1、惠更斯菲涅耳原理,2、菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式,功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其他任意位置处的振幅和相仿分布。,各子波源发出的球面波,倾斜因子,3、衍射积分方程在谐振腔的应用,M1,M2,经过j次渡越后所生成的场u j+1与u j之间也应满

8、足类似的迭代关系：,3.5.3 自再现模积分方程,按照自再现理论，当渡越次数 j 足够大时，除了一个表示振幅衰减和相位移动的复常数因子 以外，u j+1应该再现 u j，则：,当j足够大时,设v( x, y )为不受衍射影响的稳态场分布函数,其中的积分核为：,当腔长L和镜线度a满足：L a，或曲面反射镜的曲率半径R和镜线度a满足： R a时，有：,L,1,由,，得,则初步简化后的自再现模方程为：,满足方程的任意一个场分布函数v(x, y)就描述腔的一个自再现模式（横模），函数v(x, y)称为本征函数，常数为本征值。,3.5.4 自再现模积分方程的物理意义,由于,存在一系列不连续的本征函数与本

9、征值，表示腔中存在不同的自再现模（横模）。 vmn(x, y)表示其第mn个本征函数，mn表示相应的本征值，其中mn为模的序数。,本征函数是复数，它的模 |vmn(x, y)|为镜面上振幅分布，其辐角argvmn(x,y)为镜面上场的相位分布。本征值mn一般也为复数，它的模为自再现模在腔内单程渡越的功率损耗。,自再现模单程渡越后的相对功率损耗,单程损耗随横模模式不同而不同,表示自再现模在开腔中完成单程渡越时的总功率损耗，包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，因此，统称单程衍射损耗。,对称开腔中模的单程总相移,对应的单程总相移,满足多光束相长干涉的条件：,自再现模在对称开腔中的单程总相移一般

10、并不等于由腔长L所决定的几何相移kL,：腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移，或简称为单程相移,3.6 平行平面腔的自再现模,按,幂级数展开,3.6.1 平行平面镜腔的自再现模积分方程,代到,得,上式x，y是对称的，可对其进行分离变量，令：,则积分核为：,上面两个方程完全相同，任意一个方程就是条形镜腔的积分方程。,3.6.2 平行平面腔模的数值迭代解法,1、Fox-Li数值迭代法,利用迭代公式：,或简化形式,当j足够大时，uj，uj+1，uj+2，能够满足自再现条件。,2、自再现模形成过程实例,利用该式计算，首先初始入射波分布函数u1应如何选择？,将u2归一化,代入上式即可得u3,看书上

11、的例题！,3、镜面上的光场分布特点,3.6.3 单程衍射损耗、单程相移与谐振频率,1、单程衍射损耗,2、单程相移,3、谐振频率,把,代入,得,条形腔自再现模的谐振频率,由于,上式可简化：,纵模间隔,3.7 对称共焦腔的自再现模,对称共焦腔 两个球面镜的曲率半径相等且等于腔长的谐振腔称为对称共焦腔。R1=R2=L 此时两个镜面的焦点重合且处于腔的中心。,为什么要研究对称共焦腔？,考虑一个由线度为2a2a的正方形球面镜构成的对称共焦腔 R=L,3.7.1 方形镜对称共焦腔,1、方形球面镜共焦腔模式积分方程及其解,由于是轴对称关系，用直角坐标系（x,y,z)讨论。,上述方程组为条形腔的自再现模积分方

12、程。,它的解析解，由博伊德和戈登求得,以上是比较复杂的特殊函数，通常采用在某些特殊情况下的近似解。后来有人证明该函数满足如下积分关系式：,均为实数,在xa, ya的区域内，角向长椭球函数可表示为厄米多项式和高斯函数的乘积，称为厄米高斯函数,厄米高斯近似,其中，Cmn为常系数，,（1）基模,2、方形球面镜共焦腔自再现模的特征,场的振幅下降到中心值的1/e,从这个公式中可以得出，基模光斑大小与腔的横向尺寸无关，只与腔长有关,举例,（2）高阶横模,镜面上场的相位分布由自再现模的幅角argvmn(x,y)决定。因为长椭球函数是实函数，所以argvmn(x,y)=0，各点场的相位相同，共焦腔反射镜本身构

13、成场的一个等相位面。,2.镜面上场的相位分布,3.单程损耗,4.单程相移和谐振频率,可以看出附加相移与菲涅尔数无关,属于同一横模的相邻两个纵模之间的频率间隔为,而属于同一纵模的相邻两个横模之间的频率间隔则为,共焦腔模在频率上是高度简并的,(2q+m+n)相同 的所有模式都具有相同的谐振频率,都是简并模。,3、方形球面镜共焦腔的行波场的特征,考察方形镜共焦腔中任意一点的场,已知镜面上的场分布,博伊德和戈登证明，方形球面镜共焦腔的行波场可表示为（坐标原点选在腔的中心）,式中,1.振幅分布,方形球面镜共焦腔行波场的振幅分布为,其中基模的振幅分布为,讨论:,（1）定义：描述某一腔模在腔内扩展的空间体积

14、。,（2）意义：模体积大。对激活介质能量的提取就大，对模式振荡作贡献的粒子数越多，就有可能获得大的输出功率。决定一个模式能否振荡，能获得多大的输出功率，与其它模式的竞争情况等。,（3）对称共焦腔基模的模体积：看成底半径为0，高为L的圆柱体。,高阶模模体积则为,2.模体积,举例,共焦腔CO2激光器：L=1m，2a=2cm，=10.6m,3.等相位面分布,代入,讨论:,因此，等相面是凹面向着腔中心的球面,此时，等相面与反射镜面重合,此处，等相面是平面,因此，反射镜是曲率最大的等相面,定义：基模远场发散角是双曲线的两根渐近线之 间的夹角。,4.远场发散角,举例,圆形镜共焦腔模式的积分方程有严格的解析

15、解超椭球函数！,数学上，对超椭球函数的研究还不如长椭球函数！这里只讨论菲涅耳数N足够大时的近似解。,一、拉盖尔高斯近似,1、当 时，可用拉盖尔高斯近似,(1)镜面上的场分布：本征函数拉盖尔高斯函数(用极坐标),3.7.2 圆形镜共焦腔,归一化常数,cos 和 sin 可 任取其一，当m=0时，只取cos，否则本征函数无意义。,拉盖尔多项式,与 相对应的本征值为,(3) 前几阶镜面场函数,与方形镜的情形一样,(2) 拉盖尔多项式,二、圆形镱共焦腔自再现模的特征,1、模的振幅分布,(1)基模,与方形镜的情形一样,光斑半径,花样特点：无节线，在 r = 0 处振幅最大。,(2)高次模 ：与对应的本征

16、函数一样。,m、n的意义?,TEMmn的光斑尺寸：场振幅下降为最外面一个极大值的1/e的点与镜面中心的距离。,特点：阶次越高，光斑半径越大（见P72，表3-2）。,2、模的相位分布,因 为实数，则等相位面也为镜面。,3、单程衍射损耗,这与实际情况不相符。数值迭代表明，损耗仍然与N、m、n相关！而且在菲涅耳数相同时，圆形镜共焦腔的损耗要大方形镜的几倍。,看P72！,4、单程相移和谐振频率,几何相移,附加相移,(1)单程相移,(2) 谐振频率,可见，相移特点以及频率的高度简并都与方形镜的类似！,三、 圆形镜共焦腔的行波场,圆形镜共焦腔的行波场特性的推导方法与方形镜相同, 其基模光束的特征也完全相同

17、。,四、 对称共焦腔的模式小结,1、 对称共焦腔在高斯近似下(在N1时), 自再现模可以用厄米高斯或拉盖尔高斯函数近似描述场分布。其中人们较多关心基模情况，对应的行波为基模高斯光束。,2、只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。一般，阶次越高的模损耗也越大。,3、衍射损耗低； 模简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化; 等相位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。,3.8 一般稳定球面镜腔的模式理论,处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。,一、将共焦腔的模式理论推广到一般稳定球面镜腔的理由,1、任何一个共焦腔可以与无穷多个稳

18、定球面镜腔等价。,等价的含义：二者有相同的行波场。以共焦腔模式空间分布，尤其是其等相面的分布规律为依据。,锁与钥匙的关系,在共焦场的任意两等相面处放上相应曲率半径的球面反射镜，原共焦场分布不受影响，由此可以逻辑地建立起无穷多个新的谐振腔稳定腔。,理解：若有焦距为 f 的共焦腔,则其任意两等相面可构成稳定腔.,共焦腔面,C1,C2,C3,C4,z,z1,z2,2、任意一个稳定球面腔唯一地等价于某一共焦腔,钥匙与锁的关系,目标： 由 R1 , R2 , L z1 , z2 , f ，且必须有 f 2 0。,二、镜面上的光斑尺寸(基模情况),1、思路：由 R1 , R2 , L z1 , z2 ,

19、f ( 从而知道 ),非对称,2、高阶模,一股稳定腔高阶模的模体积与基模的比与腔长相同的共焦腔的高阶模与基模的模体积之比相等。,特点：随着腔趋向稳定区的边界，稳定腔的模体积急剧增大。在稳定区的内部，一般稳定球面腔的模体积与腔长相同的共焦腔的模体积有相同的数量级，场也是集中在腔的轴线附近。,三、模体积,1、基模,五、单程损耗,1、共焦腔的衍射损耗特点,每一横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳数决定！,共焦腔的菲涅耳数正比于镜的面积与镜面上光斑的面积之比。该比值越大，单程衍射损耗就越小。,2、稳定球面腔与等价共焦腔的衍射损耗遵循相同规律,(1) 理由：由于它们的行波场结构完全相同，而且反射镜都构成