第7章 相平面法.ppt

1、1,7-3A 相平面法基础,返回子目录,2,相平面法是分析非线性系统的另一种常用的方法，主要用于分析非线性系统的响应性能 相平面的“相”是指相变量。相变量是一组特定的“状态变量” 状态变量是指“足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量”,3,例如图所示的二阶线性控制系统y(t)和 c(t)是一组状态变量，e(t)和 y(t)也是一组状态变量。可见，状态变量是不唯一的 其中y(t)与c(t)两个状态变量之间满足导函数关系 将相变量定义为满足导函数关系的一组状态变量。显然，相变量也不唯一 相平面法仅适用于研究二阶或一阶系统,4,5,图c是响应的时域曲线，图b是它的导函数曲线，图a是以t为参变量

2、,将输出响应特性及其导函数特性绘在相平面上的曲线-输出响应特性的“相轨迹”曲线 输出特性上既包含输出量大小的信息，也包含它的导函数信息，特性上点的切线斜率就是该点的导数 结论：控制系统的输出响应性能可由它的相轨迹来获得，由响应特性曲线c(t)可读得响应的最大超调量、延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间等时域指标,6,相平面法 一种求解二阶常微分方程的图解方法 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 （7-9） 令,7,相平面:,描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。,相轨迹:,把具有直角坐标 的平面叫做相平面。,8,一、线性系统的相轨迹,设系统的微分方程为,（7-12）,系统（7-12）

3、的特征方程为,特征方程的根为,式（7-12）所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。,9,取相坐标 、 ，式（7-12）可化为：,（7-14）,或,10,（1）无阻尼运动,由方程（7-14），相轨迹方程为,其中,相轨迹如图724所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动,（7-16）,11,图7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹,相轨迹的方向如图7-24中箭头所示。 相轨迹垂直穿过横轴。 坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做奇点。,12,（2）欠阻尼运动,其中,13,相轨迹如图725所示。从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经

4、过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为 稳定的焦点。,图7-25 系统欠阻尼运动时的相轨迹,14,（3）过阻尼运动,方程（712）的解为,相轨迹如图726所示,15,图7-26 过阻尼时的相轨迹 A2=0，曲线1；A1=0，曲线2,图7-27 过阻尼运动的时间响应,坐标原点是一个奇点， 这种奇点称为 稳定的节点。,16,（4）负阻尼运动,相轨迹图如图728所示，此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向与图725不同，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为 不稳定的焦点 。,图7-28,17,系统的相轨迹图如图7-

5、29所示，奇点称为 不稳定的节点。,图7-29,18,此时相轨迹如图 7-30所示。奇点称为 鞍点 该奇点是不稳定的 。,图7-30 斥力系统的相轨迹,19,图7-31 特征根和奇点的对应关系,20,二、相轨迹作图法,设系统微分方程如,化为,表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点时所取的斜率都是,1 等倾线法,21,例子,微分方程,或,等倾线是直线，它的方程为,22,取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹 。,图7-32,23,极限环,

6、在图7-33中，出现了一种孤立的简单的封闭相轨迹。这种相轨迹称为稳定的极限环。,图7-33,24,图7-34 各种类型的极限环 a稳定，b不稳定，c、d半稳定,25,三、由相平面图求时间解,相轨迹上坐标 点移动到 点所需的时间，可按下式计算,（7-32）,这个积分可用通常近似计算积分的方法求出，因此求时间解的过程是近似计算的过程。,26,1、用 曲线计算时间,利用式（732）计算时间，在某些情况下可直接进行积分运算 。,图7-35,27,2、用小圆弧逼近相轨迹计算时间,在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。,这样就有,28,代入（7-32）式得,令,（7-33）,

7、29,图7-36 用小圆弧逼近相轨迹计算时间,30,例7-2,图示相平面上有两条封闭的相轨迹，已知AB和A1B1均是圆弧的一部分，试计算这两条封闭相轨迹所对应的周期运动的周期。,图7-37,31,相轨迹ABCD和A1B1C1D1 对应的周期运动，他们的周期分别为T和T1 秒（角度：弧度） 则有,32,7-3B 非线性系统相轨迹分析,根据系统结构形式选取相坐标，列写微分方程 画相轨迹图 根据相轨迹图分析系统的运动情况,返回子目录,33,一、继电型系统,系统中有一个或几个元件具有继电型非线性特性的系统称为继电型系统。,图7-38 继电型非线性特性,34,若继电系统的方框图如图7-39所示,研究图中

8、继电特性为图7-38（b)的情况,图7-39,35,很明显，相平面以直线 为界被分成三个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定,36,1、 在 ch的区域,系统方程为,其中,37,所以,当,38,2、 在|c|h区域,系统方程为,39,3、 在c-h区域,相轨迹方程为,当 时,40,图7-40 系统当 m=+1 时的相轨迹,41,当m=-1时，系统微分方程为,对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最终都是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅仅取决于系统的参数，而和初始条件的大小无关。,42,图7-41 系统当m=-1时的相轨迹,43,图7-42 m+1 振荡趋势加大示

9、意图,44,图7-43 m逐渐减少时的相平面,45,二、速度反馈对继电系统自由运动的影响,图7-44 有速度反馈的继电器系统,46,系统的微分方程为,将此相轨迹图与图7-40 比较可看出两者主要是开关线不同。 可以通过改变开关线的位置来改善系统的性能。,47,图745 速度反馈对系统运动过程的影响,48,三、含有间隙非线性的系统,图7-46 间隙非线性和非线性控制系统,49,方程式：,50,式中,51,图7-47 式（7-54）和式（7-55）的相轨迹,52,图7-48 图7-46系统的相平面,53,图7-49 判断开关线所用的对应关系,54,四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系统的相平面,图7-

10、50 具有非线性放大器的系统,55,图7-52（a）表示的系统方程为,得到,假定,56,（1）阶跃输入 r(t)=R,系统方程变为,图7-51 阶跃输入下得相轨迹,57,（2）输入信号r(t)=Vt+R,系统方程为,58,图7-52 Ve0时的相轨迹,59,图7-53 kKe0VKe0,R=0 时的相轨迹,图7-54 VKe0,R=0时的相轨迹,60,返回子目录,7-5 描述函数,描述函数可以定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比 。,若输出的一次谐波分量为,输入的正弦量为,则描述函数的数学表达式如式 （7-75） 所示：,（7-75）,61,图7-57 理想继电特性在正弦输入

11、时的输出波形和振幅频谱,62,其中,63,例7-3,若非线性特性为 （7-76）,其特性曲线如图7-58。,64,令,则有,65,图7-58 式（7-76）的输入-输出特性 图7-59 描述函数,66,一、不灵敏区特性的描述函数,67,（7-83）,根据描述函数的定义，可求出不灵敏区的描述函数为,68,图7-60 不灵敏区特性及其输入-输出波形,69,二、饱和特性的描述函数,70,图761表示了饱和特性和它在正弦信号作用下的输出波形。 饱和特性的描述函数为,从上式可知，饱和特性的描述函数是输入幅值的实值函数，与输入频率无关。,71,图7-61 饱和特性及其输入-输出波形,72,三、间隙特性的描

12、述函数,73,74,间隙特性的描述函数为,图762表示了间隙特性和它在正弦信号作用下的输出波形,75,图7-62 间隙特性及其输入-输出波形,76,四、继电型特性的描述函数,图763表示了具有滞环和不灵敏区的继电特性和它在正弦信号作用下的输出波形,77,78,79,继电特性的描述函数为,可知具有滞环和不灵敏区的继电特性的描述函数，和输入信号的频率无关，只是输入幅值的复数值函数。,80,图7-63 继电特性及其输入-输出波形,81,当 h=0,两位置理想继电特性的描述函数,当m=1,三位置理想继电特性的描述函数,当m=-1,得到具有滞环的两位置继电特性的描述函数,82,返回子目录,7-6 用描述

13、函数法分析非线性系统,非线性控制系统可化为下列结构形式,图7-64 非线性控制系统,83,用描述分析非线性系统时两个基本假设：,系统的线性部分G(j)具有很好的低通滤波性。 系统若发生自激振荡（稳定的周期运动），假定非线性环节N的输入端的振荡为正弦波。,84,一、特征方程的解法,图764所示系统的特征方程为,（7-90）,85,二、自激振荡的确定,图7-65 周期运动的确定及稳定性判别,分别将 和 曲线画在复 平面上,如图765 所示。,86,M1对应的周期运动为X01sin01t M2对应的周期运动为X02sin02t 。 M1的周期运动是不稳定的。 M2的周期运动是稳定的。,上述方法适用于G(s)无右半复平面极点的情形。,图中 曲线和 曲线分别相交于M1点和M2点。,87,图7-66 不稳定的和稳定的周期运动,88,M1对应周期运动稳定，M2对应周期