泊松方程和拉普拉斯方程概念分析.ppt

1、静电场计算中的两类问题,已知场空间分布，求源电荷分布,利用高斯定理的微分形式,已知源电荷分布，求空间场分布,边值问题,利用高斯定理的积分形式 （当电场分布具有某种空间对称性）,直接法,间接法,2.5 泊松方程和拉普拉斯方程,微分形式：,积分形式:,2.5.1 静电场的基本方程,本构关系:,线形、各向同性媒质,静电场:无旋有散场,2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程,电位 满足的泊松方程,当 场中无电荷分布 (即 )的区域:,拉普拉斯方程,拉普拉斯算子,拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式,直角坐标系中:,圆柱坐标系中:,球坐标系中:,四 . 一维泊松方程的求解,P.66 例2-9 例2-10,例

2、 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为v(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为1和2, 1满足泊松方程, 2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以1、 2均是球坐标r的函数。 ;,(1) 分别列出球内、外的电位方程:,当ra时,当ra时,将上述两个方程分别积分两次可得1、2的通解:,(2) 根据边界条件, 求出积分常数A、B、C、D: 边界条件是: ; r=a, 1=2; ; r=a, r, 2=0(以无限远处为参考点); ; r=0, (因为电荷分布球对称, 球心处场强E

3、1=0, 即Er=0)。 由上述条件, 确定通解中的常数:,例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为0, 区域2中的厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为v(C/m3)的均匀体电荷, 分界面为无限大。试分别求解、区域的位函数与电场强度。,平板形体电荷的几何关系,解设、 、 区域的电位函数分别为1(y)、2(y)、 3(y)。 (1) 分别列出三个区域的电位方程。 在、 两个区域内电位满足拉普拉斯方程, 而第区域的电位满足泊松方程:,将上面三个方程分别分两次可得,由场分布的y=0平面对称性，可知3(y)= 1(-y)，所以我们只需求解1和2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、

4、C3 、 C4。,(2) 由边界条件确定常数: 边界条件为:,时, 1=2;,(交界面上无自由面电荷);,y=0, 2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考点, 这里选择y=0处为参考点。,由场分布的对称性, 2(y)=2(-y) ; 由条件、 可得:,由条件可得,根据公式,可求得三个区域的电场分布:, 场量在不同媒质分界面上各自满足的关系 将场量在分界面上分解成: 法向normal分量 (以下标n表示) - 垂直于分界面 切向tangency分量 (以下标t表示) - 平行于分界面,由静电场基本方程的积分形式:,2.6 分界面上的边界条件,两种不同媒质分界面的边界条件,两种不同媒质

5、分界面的边界条件,法向边界条件,切向边界条件,法向边界条件,一. D满足的边界条件,若界面上无自由电荷分布，即在S=0时:,结论: 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续,高斯通量定理,(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体; 静电场中导体内部电场为零, 故, 两种特殊情况,(2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即s=0, 则,即,结论: 当12时, E的法向分量不连续, 其原因是交界面上有束缚面电荷密度,结论： 在介质交界面上,电场强度的切向分量始终连续,或,静电场的无旋性:,二. E满足的边界条件,三 . 电位满足的边界条件,(1)第一媒质是电介质,第二媒质

6、是导体;,(2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即s=0, 则,电场方向在 交界面上的曲折,两式相除:,改写:,四、介质分界面上电场方向的关系,边界条件:,当两种介质分界面上没有自由电荷, 即s=0, 则,-静电场的折射定理,边界条件,构成边值问题必不可少的条件; 判断不同媒质界面两侧场量的大小、方向及连续、突变;,例 1 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为1，下半部分的介电常数为2，如图 所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求内外导体之间空间的电位移矢量和电场强度。,Er1,Er2,Er2,Er1,解：,在半径为r的

7、球面上作电位移矢量的面积分，有,例 3.11 如图所示,两个无限长同轴圆柱, 内、 外导体半径分别为a和b, 两导体间部分填充介电常数为的电介质, 内外导体间的电压为U0。图(a)中电介质与空气分界面的半径为c; 图(b)中01间部分填充电介质。试对该二同轴线分别求出: (1) 内、 外导体间的电场强度E及电通量密度D; ; (2) 导体表面上单位长度的带电量l。,解 因为同轴圆柱是轴对称结构, 故只有沿半径方向的电场。图(a) 结构中, 电场垂直于介质与空气的交界面, 根据两介质交界面上法向分量电通量密度相等的边界条件, 可知道不同介质内D的表示式相同。而在图(b)结构中, 电场平行于介质与空气交界面, 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件, 得知不同介质内E的表示式相同。,(1) 图(a)结构: 当=c时,令内、外导体表面