1.1 数理统计基本概念.ppt

1、分为两大类：,一、如何科学地安排试验, 以获取有效的随机数据 -描述统计学,如：试验设计、抽样方法等。,二、研究如何分析所获得的随机数据, 对所研究的问题进行科学的、合理的估计和推断,尽可能地为采取一定的决策提供依据,作出精确而可靠的结论 -推断统计学,如:参数估计、假设检验等。,数理统计-数据来分析对象满足的概率规律.,100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：,例如,某厂生产一型号的合金材料,用随机的方法选取,1、估计这批合金材料的强度均值是多少?,(参数的点估计）,2、强度均值在什么范围内？,(参数的区间估计）,3、若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这,批材料是否合格？,(参

2、数的假设检验）,4、这批合金的强度是否服从正态分布？,(分布检验）,6、若这批合金,由几种原料用不同的比例合成，那么,如何表达这批合金的强度与原料比例之间的关系？,(回归分析问题）,5、若这批材料是由两种不同工艺生产的，那么不同,的工艺对合金强度有否影响？,若有影响，那一种,工艺生产的强度较好？,(方差分析）,1.2 充分统计量与完备统计量,1.1 数理统计的基本概念,1.3 几个常用的分布,1.4 次序统计量及其分布,第1章 统计量与抽样分布,一、总体与样本,1.总体 研究对象的某项数量指标值全体称为总体 或母体, 总体中每个元素称为个体。,研究某批灯泡的质量,总体,总体,1.1 基本概念,

3、考察某工厂生产的灯泡寿命,考察某型号手机的质量,考察吸烟和患肺癌的关系,2. 样本,样本中所包含的个体数目称为样本容量.,从国产轿车中 抽5辆进行 耗油量试验,样本容量为5。,方法.,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，,为了使抽取的样本能很好地反映总体，,必须考虑抽样,统计中, 采用的抽样方法是随机抽样法, 即子样中每个个体是从母体中随意地取出来的。,（1） 重复（返回）抽样,分量Xk与所考察的总体有相同的分布,从总体中抽取个体检查后放回，,母体成分不变（分布不变）,相互独立的随机变量.,对无限母体而言做无返回抽取，并不改变母体的成分,独立且同分布于母体,（2） 非重复（无返回）抽样,取

4、出样本后改变了母体的成分，所以,对有限母体，,不相互独立，,最常用的抽样方法叫做,“简单随机抽样”,(2) 独立同分布性,简单随机抽样要求抽取的样本满足:,(1) 代表性（随机性）：,其中每一个,每一个个体被抽到的可能性相同。,从总体中抽取样本的每一个,分量Xk 是随机的,是相互独立的随机变量.,今后当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.,分量Xk与所考察的总体有相同的分布,若总体X的分布函数为,联合分布函数为,若总体X的分布密度函数为,则其简单随机样本的,则其简单随机样本的,联合密度函数为,离散总体,则样本的分布列,样本的联合分布为,(1)总体X的分

5、布律为,例1 对下列总体分别求出样本的联合分布,样本的联合概率密度为,(2)总体X的概率密度为,例1 对下列总体分别求出样本的联合分布,我们只能观察到随机变量取的值,而见不到随机变量.,我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.,如我们从某班学生中抽取10人测量身高,得到10个数,它们是样本取到的值而不是样本.,因而可以由样本值去推断总体.,总体分布决定了样本取值的概率规律，,也就是样本,取到样本值的规律，,去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质.,样本是联系二者的桥梁,统计是从手中已有的资料-样本值，,3. 总体、样本、样本值的关系,4. 样本的分布,1）样本的频数分布,将n个样本值,按从

6、小到大排列,把相同,的数合并,并指出其频数（样本中各数出现的次数）,1）样本的经验分布函数,样本值,样本值小于或等于x的个数,作,样本的经验分布函数,给出了在n次独立重复试验中，事件,出现的频率，具有分布函数的一切性质。如：,非降，右连续；,由频数分布知,若样本为n维r.v,那么对于每一样本值,就可作一个经验分布函数，故,是随机变量,-n次独立重复试验中，事件,发生的频率。,由伯努利大数定律，,这就是我们可以由样本推断总体的基本理论依据.,格列汶科进一步证明了：当n时，Fn(x)以概率1关于x一致收敛于F(x)，即,这就是著名的格列汶科定理.,定理告诉我们，当样本容量n足够大时，对所有的x,

7、Fn(x)与F(x)之差的绝对值都很小，这件事发生的概率为1.,5、直方图,(1)离散情况,(2)连续情况,设总体X为连续型随机变量，如何估计未知的密度函数f (x) ?,定义1 设,是来自总体X的一个样本，,为一实值连续函数，,其不包含任何,未知参数，则称,为一个统计量。,为,的观测值。,注：,是随机变量的函数仍为随机变量。,便是一个数。,注：统计量是随机变量。,二、 统计量,1. 统计量,例1,为来自总体的样本,未知，,已知，判断下列函数哪些是统计量。,2. 几个常见的统计量,样本均值,样本方差,它反映了总体 均值的信息,是来自总体X的一个样本，,样本标准差,修正样本方差,样本k 阶原点矩,它反映了总体k阶矩 的信息,样本k 阶原点矩,样本k 阶中心矩,它反映了总体k 阶 中心矩的信息,证 左边,重要公式,常见统计量的性质,是来自总体,例2,设,的一样本,总,体,的,阶矩,存在，证明,(1),(