数值分析实验学生版

1、计算机与信息工程学院数值分析实验报告 计科专业2013级3班 姓名：茆彩云 学号：201340910348实验一：Lagrange插值法 一、 实验目的 插值法是一个古老实用的课题,是函数逼近、数值积分微分和微分议程数值解的基础。本实验目的是通过实验掌握Lagrange插值方法，并能用自已熟悉的语言编程求解具体的插值问题。验证基本算法和了解基本算法在计算机上的实现过程。二、 实验题目：给出f(x)的函数表如下：x0.40.550.650.80.91.05f(x)0.410750.578150.696750.888111.026521.25382按Lagrange插值算法编程求出f(0.596)

2、的近似值；三、实验原理通过n+1个节点X0X1.Xn的n次插值基函数，再写出n次插值多项式。四、实验内容与步骤 先定义n次插值基函数再写出n次插值多项式5、 实验程序Lagrange插值算法:Newton插值方法:6、 实验结果及其分析 Lagrange插值算法:结果是0.631917Newton插值方法:结果是0.631918两种算法的计算结果不完全一样对于给定的点才能用Lagrange插值算法，需要计算出基函数教师评语： 实验成绩：_计算机与信息工程学院数值分析实验报告实验二：最小二乘法一、 实验目的 1、 掌握最小二乘法的基本思路和拟合步骤；2、 培养编程与上机调试能力。二、 实验题目已

3、知一组数据如下，求它的线性拟合曲线。1234544.5688.521311三、实验原理已知数据对，求多项式使得为最小，这就是一个最小二乘问题四、实验内容与步骤 最小二乘法计算步骤 用线性函数为例，拟合给定数据。算法描述：步骤1：输入值，及。步骤2：建立法方程组。步骤3：解法方程组。步骤4：输出。5、 实验程序六、实验结果及其分析 与实验中给定的结果不完全相同，存在误差，注意根据正则方程组写出相应的程序注意根据正则方程组写出相应的程序教师评语： 实验成绩：_计算机与信息工程学院数值分析实验报告实验三：复化梯形公式逐次分半求积法一、 实验目的 1、 掌握复化梯形公式逐次分半求积法的流程图的画法；2

4、、 通过数值实验，掌握基本的数值积分方法。3、编程并以教材中数据检验程序的正确性。二、 实验题目复化梯形公式逐次分半求积法计算积分值。三、 实验原理求积分值的梯形公式是： ；复化梯形公式：；实际计算中常采用变步长的计算方案，即在步长逐次减半（即步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。设将求积区间分为等分，则一共得到个等分点，。用表示复化梯形法求得的积分值，其下标表示等分数。递推公式如下：其中代表二分前的步长， 。四、实验内容与步骤根据实验原理，编写程序五、实验程序六、实验结果及其分析 教师评语： 实验成绩：_计算机与信息工程学院数值分析实验报告实验

5、四：数值微分一、实验目的 根据离散点上的函数值，求取某点倒数近似值，可以用差商代替倒数，和插值型数值求导二、实验题目实验测得一组数据如下，求处的导数。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.480.380.310.330.360.410.510.430.350.290.28所给数据为等距节点，采用插值型数值求导中的三点公式，编程求导。3、 实验原理当函数以表格形式给出: 用插值多项式作为的近似函数,由于多项式的导数容易求得,我们取的导数作为的近似值,这样建立的数值公式 (7.6.4)统称为插值型的求导公式。其截断误差可用插值多项式的余项得到,由于两边求导数得由于上式中

6、的是的未知函数,我们无法对做出估计,因此,对于任 意的,无法对截断误差做出估计。但是,如果求节点处导数，则截断误差为 四、实验内容与步骤 过等距节点作二次插值多项式,并记步长为,则两边求导数得于是得三点公式 (7.6.8)其截断误差为 (7.6.9)如果要求的二阶导数,可用作为的近似值,于是有 (7.6.10)其截断误差为 五、实验程序六、实验结果及其分析 教师评语： 实验成绩：_计算机与信息工程学院数值分析实验报告实验五： 求解微分方程的龙格-库塔方法一、 实验目的 （1）掌握四阶Runge-Kutta方法的编程；（2）实现求解常微分方程初值问题。二、 实验题目用四阶龙格-库塔公式解初值问题

7、： ，三、 实验原理求解初值问题对上述给定的，用四阶龙格-库塔法求解常微分方程初值问题四、实验内容与步骤 给定初始值，为根的容许误差，为的容许误差，为迭代次数的容许值。 如果或迭代次数大于，则算法失败，结束；否则执行； 计算； 若或，则输出，程序结束；否则执行； 令，转向。五、实验程序六、实验结果及其分析 教师评语： 实验成绩：_计算机与信息工程学院数值分析实验报告实验六：牛顿迭代法求方程的根一、 实验目的 掌握牛顿迭代法等常用的非线性方程迭代算法；培养编程与上机调试能力.二、 实验题目用牛顿法求方程在附近的一个根。三、 实验原理牛顿法也是一种简单的迭代法，具有二阶收敛速度（在单根邻近处）的特

8、点，但对初值的选择比较苛刻，否则可能不收敛.四、实验内容与步骤给定初始值，为根的容许误差，为的容许误差，为迭代次数的容许值. 如果或迭代次数大于，则算法失败，结束；否则执行 计算 若或，则输出，程序结束；否则执行 令，转向五、实验程序6、 实验结果及其分析 Newton法用于单根近似计算，具有局部收敛性，f(x)!=0.教师评语： 实验成绩：_ 计算机与信息工程学院数值分析实验报告实验七：高斯消去法一、 实验目的 了解高斯消去法的主要步骤；将理论知识运用于实践，能够上机操作二、 实验题目解方程组三、 实验原理用行的初等变换将原方程组的系数矩阵化为简单形式，从而将求解原方程组的问题转化为求解简单

9、方程组的问题。四、实验内容与步骤先写成Ax=b;再用增广矩阵B=A|b将A化成单位上三角矩阵，最后写成三个简单的方程组，回代计算成x1,x2,x3五、实验程序六、实验结果及其分析 教师评语： 实验成绩：_计算机与信息工程学院数值分析实验报告实验八：解线性方程组的迭代法一、 实验目的 掌握Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法灵活使用这两种方法编辑相应的程序，解决数学问题二、 实验题目应用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法解线性方程组三、 实验原理迭代法的思想：根据方程组设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一初始向量代入迭代公式。求出，再以代入同一迭代公式。求出，如此反复进行，得到向量

10、序列。当收敛时，其极限即为方程组的解。四、实验内容与步骤（4.1） 雅克比（Jacobi）迭代法：设有n阶方程组若系数矩阵非奇异，且 aii(i = 1, 2, n)，将方程组改写为 然后写成迭代格式（4.2）高斯赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法：写成矩阵形式：5、 实验程序Jacobi迭代高斯塞德尔迭代：六、实验结果及其分析 要迭代100次，精度才能达到0.00001教师评语： 实验成绩：_计算机与信息工程学院数值分析实验报告填写说明及示范实验名称：Newton插值方法 一、实验目的 （写清楚为什么要做这个实验，其目的是什么，做完这个实验要达到什么结果，实验的注意事项是什么等。） （

11、1）掌握牛顿插值法的基本思路和步骤；（2）培养编程与上机调试能力并计算出结果。二、实验题目给定构造牛顿插值函数并计算。三、实验原理（将实验所涉及的基础理论、算法原理详尽列出）给定插值点序列（。构造牛顿插值多项式。输入要计算的函数点并计算的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面的各项系数恰好又是各阶差商，而各阶差商可用差商公式来计算。四、实验内容与步骤 （列出实验的实施方案、步骤、数据准备、算法流程图以及可能用到的实验设备（硬件和软件）。 ） 牛顿插值法计算步骤 输入值及（；要计算的函数点。 对给定的由其中 。计算的值。 输出。五、实验程序（程序中至少行有注释.）六、实验结果及其分析 （实验结果应包括实验的原始数据、中间结果及最终结果，复杂的结果可以用表格或图形形式实现，对实验的结果进行认真的分析，进一步明确实验所涉及的算法的优缺点和使用范围