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文档简介

1、无穷级数,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,主要内容,性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,常数项级数审敛法,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1) 比较审敛法,(2) 比较审敛法的极限形式,定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,注：定理条件是充分非必要的。例 交错级数,说明：,（1）条件是充分而非必要的,（2）判别,的方法有三种。,

2、定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,正项级数,交错级数,任意项级数,比值 根值,其他,做题思路:,5、函数项级数,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛域,(3) 和函数,(1) 定义,6、幂级数,(2) 收敛性,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,求幂级数收敛域的方法,1) 对标准型幂级数,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求 .,代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数的运算,(收敛半径不变),和函数的分析性质:,(定理4),注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.,(收敛半径不变),5. 求下列级数的收敛域及其和函数,例16.,解: 设,则,7、幂级数展开式,(1) 定义,如果f(x)在x0的某邻域内具有任意阶连续导数,f(x)在x0的泰勒级数,f(x)在x0能展成泰勒级数，或说，f(x)能展成(x-x0)的幂级数,若在其收敛域上，f(x) 的泰勒级数收敛于f(x),(2) 充要条件,(3) 唯一性,练习题,1、将下列函数展

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