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文档简介

1、, 4.7 二次曲线的仿射分类,问题：在射影仿射平面上, 给定二阶曲线,适当选取射影仿射坐标系, 将 的方程化为射影仿射标准方程.,依据： 的秩, A33的符号, 将双曲型、抛物型、椭圆型三个类型的曲线进一步细分为若干仿射等价类, 得到每一类的标准方程.,注意：因为无穷远直线l: x3= 0在射影仿射变换下保持不变, 故在选取新的射影仿射坐标系时必须保持A1, A2总取在l上., 4.7 二次曲线的仿射分类,一、 非退化二阶曲线的射影仿射分类,此时, |aij|0, 秩(aij)=3. 依据A33是否为零分类:,1. A330, 有心二阶曲线.,取中心为A3, 任取一对相异的共轭直径, 其与l

2、的交点分别取作A1, A2. 则三点形A1A2A3为 的一个自极三点形.,以 A1A2A3为坐标三点形, 适当选取单位点E , 建立新的射影仿射坐标系. 据4.5, S = 0可以化为, 4.7 二次曲线的仿射分类,中, 注意到x1, x2地位平等, 而x3特殊, 从而有下列三个等价类,在射影仿射平面上, 有心二阶曲线皆可化为上述标准方程之一.,在方程, 4.7 二次曲线的仿射分类,2. A33=0, 无心二阶曲线, 即抛物线.,以l为一边的自极三点形不存在. 取中心(无穷远切点)为A1, 取一直径与 的有穷远交点为A3, A3处的切线上无穷远点取作为A2.,在射影仿射平面上, 无心二阶曲线(抛物线)皆可化为上述标准方程.,以三点形A1A2A3为坐标三点形, 适当选取单位点建立仿射坐标系, 据4.5, 的方程可以化为,再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换, 可得 的仿射标准方程, 4.7 二次曲线的仿射分类,二、 退化情形,综上讨论, 在射影仿射平面上, 二阶曲线共分为11个等价类. 任何二阶曲线皆可通过适当选取射影仿射坐标系化为上述11种标准方程之一., 4.7 二次曲线的仿射分类,例 求射影仿射坐标变换, 将二阶曲线,化为射影仿射标准方程.,由秩(aij)=3知 为一条非退化二阶曲线, 又由A33 0知 为一个椭圆.,第一步, 选取以中心为一个

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