复变函数与积分变换21

1、第二章 解析函数,1、复变函数的概念、极限与连续性 2、解析函数的概念 3、函数可导与解析的充要条件 4、初等函数,1. 复变函数的概念,一、定义 定义2.1 设E是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合E中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数)。 记作 w=f(z),如果z的一个值对应着w的一个值, 则函数f(z)是单值的; 否则就是多值的. 集合E称为f(z)的定义集合, 对应于E中所有z对应的一切w值所成的集合G或f(E), 称为函数值集合.,设 z = x+iy, w = u+

2、iv,其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u ,v .,例如, 考察函数 w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 则u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,因而函数 w = z2 对应于两个二元函数:u = x2-y2, v = 2xy,在以后的讨论中, E常常是一个平面区域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.,二、 映射的概念,函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集E(定义集合)变到 w平面上的一个点集G (函数值集合)的映射(或变换). 如果 E 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的点 w,

3、 则 w 称为 z 的象(映象), 而 z 称为 w 的原象.,x,u,E,G,Z,z,w,W=f(z),v,y,W,设函数w = z =x iy ; u=x , v=-y,x,y,O,u,v,O,设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有 u = x2-y2, v = 2xy,假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合E, 函数值集合为w平面上的集合G, 则G中的每个点w必将对应着E中的一个(或几个)点. 按照函数的定义, 在G上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w), 它称为函数w=f(z)的反函数, 也称为映射w=f(z)的逆映射. 函数(映射)w

4、=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的, 则称函数(映射)w=f(z)是一一的. 此时, 我们也称集合E与集合G是一一对应的.,2. 复变函数的极限,函数的极限定义 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 00, 相应地必有一正数d (e) (0 d r), 使得当 0 |z-z0|d 时有| f (z)-A |e ,则称A为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作,或记作当 zz0 时 , f (z)A.,几何意义:,等价定义：,设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则,运算性质：,当 z0

5、 时的极限不存在,例1 证明函数,证 令 z = x + i y, 则,由此得,让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有,故极限不存在.,3. 函数的连续性定义2.3,则说 f (z)在 z0 处连续. 如果 f (z) 在区域D内处处连续, 我们说 f (z) 在D内连续.,函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续.,性质：,(1)连续函数的四则运算仍然连续；,(2)连续函数的复合函数仍然连续；,(3) 由以上性质, 可以推得多项式 w=P(z)=a0+a1z

6、+a2z2+.+anzn 在复平面内所有的z都是连续的;,有理分式函数 其中P(z)和Q(z)都是多项式, 在复平面分母不为零的点也是连续的.,(4)有界闭区域D上的连续函数必有界,例题1 讨论,的连续性。,arg z可由下列关系确定:,第二章 解析函数,2.2 解析函数的概念,1 复变函数的导数,定义：,存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的 导数，记作,应该注意：上述定义中 的方式是任意的。,如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在内可导.,例1 求 f (z) = z2 的导数。,解 因为,所以f (z) = 2z .,复变函数的

7、导数具有与实函数同样的求导法则 。,（即f (z) = z2 在复平面处处可导。）,求导法则 与实函数同样的办法可得: 1) (c)=0, 其中c为复常数. 2) (zn)=nzn-1, 其中n为正整数. 3) f(z)g(z)=f (z)g(z). 4) f(z)g(z)=f (z)g(z)+f(z)g(z).,6) fg(z)=f (w)g(z), 其中w=g(z).,例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?,解 这里,所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.,（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.）,可导与连续 事实上, 由在z0点可导的定义

8、, 对于任给的e0, 相应地有一个d0, 使得当0|Dz|d时, 有,由此得f(z0+Dz)-f(z0)=f (z0)Dz+r(Dz)Dz,可导 连续。,例3 讨论,的可导性。,解：,所以,在复平面上除原点外处处不可导。,2. 解析函数的概念,函数在一点解析,在该点可导。,反之不一定成立。,在区域内：,例如 f (z) = z2,在整个复平面上解析；,仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；,f (z) = x +2yi,在整个复平面上不解析。,定义2.5,否则称为奇点 。,例 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.,解：,故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析；,z = 0 是它的

9、一个奇点。,解析函数的性质：,(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数； (2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数； (3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； 所 有解析点的集合必为开集。,定理2.6 1)在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(除去分母为零的点)在D内解析. 2)设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析, 函数w=f(h)在h平面上的区域G内解析. 如果对D内的每一个点z, 函数g(z)的对应值h都属于G, 则复合函数w=fg(z)在D内解析.,所有多项式在复平面内是处处解析的, 任何一个有理分式函数P(z)/Q(z)在不含分母为

10、零的点的区域内是解析函数, 使分母为零的点是它的奇点.,问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，,如何判别其解析（可导）性？,换句话说：,例: 设二元函数f(x,y)=x2sin2y, 则,iv)微分的概念 设函数w=f(z)在z0可导, 则有 Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f (z0)Dz+r(Dz)Dz,因此, |r(Dz)Dz|是|Dz|的高阶无穷小量, 而f (z0)Dz是函数w=f(z)的改变量Dw的线性部分, 称为函数w=f(z)在点z0的微分, 记作 dw=f (z0)Dz (*) 如果函数在z0的微分存在, 则称函数f(z)在z0可微.,dw=f

11、(z0)Dz(*) 特别, 当f(z)=z时, 由(*)得dz=Dz. 于是 dw=f (z)dz,即,由此可见, 函数w=f(z)在z0可导与在z0可微是等价的. 如果f(z)在区域D内处处可微, 则称f(z)在D内可微.,2.3 函数可导与解析的充要条件,在工程中, 往往是要用复变函数来解决实际问题. 而实际问题中遇到的复变函数, 通常都是某个实变函数延拓而来的. 即, 如果原来有一个实变函数f(x), 自变量是实数, 函数值也是实数, 则将x用一个复数代替, 就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数. 事实上我们只关心这样的复变函数. 比如说：实变函数f(x)=x2-x+1, 则相应

12、的延拓的复变函数就是f(z)=z2-z+1. 经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数.,假设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数, 我们也可以将它看作是变量x,y的二元函数, 则对x求偏导和对y求偏导, 得两个公式,u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足 柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。,定理3.8 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域D内解析的充要条件是： （1）u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, （2）u(x,y) 与 v(x,y) 在D内满足Cauchy-Riem

13、ann方程.,定理3.7 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: （1） u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, （2）u(x,y)与v(x,y)在点(x,y) 满足Cauchy-Riemann方程 。,推论 ：,例题1,解：,例题2,判断下列函数在何处可导, 在何处解析:,解：,得 u=x, v=-y, 所以,在复平面内处处不可导, 处处不解析；,2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以,当且仅当 x = y = 0时,因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何

14、地方都不解析.,例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:,解 1) 因为u=x, v=-y,可知柯西-黎曼方程不满足, 所以w=z在复平面内处处不可导, 处处不解析,2) 因为u=excos y, v=exsin y,柯西-黎曼方程成立, 由于上面四个偏导数都是连续的, 所以f(z)在复平面内处处可导, 处处解析, 且根据(2.2.2)式有 f (z)=ex(cos y+isin y)=f(z) 今后将知道这个函数就是指数函数ez.,3) 由w=zRe(z)=x2+ixy, 得u=x2, v=xy, 所以,容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程,

15、 因而函数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.,例2 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析?解 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,vx=2cx+dy, vy=dx+2y从而要使ux=vy, uy=-vx,只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by.因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复平面内处处解析, 这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2,2.4 初等函数,3.1 指数函数,定义：,性质：,3.2 三角函数,定义：,性质：,(1)Euler 公式仍然成立：,(2)全平面解析函数，,(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外),(4)sin z为奇函数，cos z为偶函数,例如,(7)定义其他的三角函数：,3.3 双曲函数,定义：,（1）全平面解析函数：,（2）以2pi为基本周期的周期函数：,（3）chz为偶函数, shz为奇函数。