D1_4无穷小量与无穷大量1

1、,第一章,二、 无穷小的等价代换,三 、无穷大量,一、 无穷小量及其阶,第四节,无穷小量与无穷大量,当,1. 定义1 . 若,时, 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小量,简称无穷小 .,时为无穷小.,一、 无穷小量及其阶,定义1 . 若,时, 函数,则称函数,为,时的无穷小量,简称无穷小 .,以零为极限的数列也是当n时的无穷小,定义1 . 若,时, 函数,则称函数,为,时的无穷小量,简称无穷小 .,说明:,2.无穷小量不是一个非常小的数，0是可以作为无穷小的唯一常数 !,1.无穷小首先是一个函数，其次要指明自变量趋向于什么。只有在自变

2、量趋向确定下并引起函数值趋于0，才能称函数为无穷小。,定义1 . 若,时, 函数,则称函数,为,时的无穷小量,简称无穷小 .,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,因为,当,时,显然 C 只能是 0 !,C,C,其中(x) 为一个无穷小,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,仅就 的情形证明,其他情形类似.,必要性 设,则,令,则,其中(x) 是当 的,无穷小,并且,充分性 设,(x) 是当 的无穷小,则,2. 无穷小量的性质,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;,定理 2. 自变量相同变化趋势的无穷小量有如下

3、性质:,(2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量;,证:,由已知, f在x0处是局部有界的,故,恒有,从而,故,所以(x) f(x) 是当 时的无穷小.,可以简记作：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。,例1. 求,解:,利用定理 3 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,都是无穷小,引例 .,但,记作,是 的高阶无穷小，,是 的低阶无穷小,是 的同阶无穷小,是 的等价无穷小,是 的 k 阶无穷小,记作,特别取(x)=x-x0,若 则称(x)是当xx0时的k阶无穷小.,设(x)与(x)是自变量x有相同变化趋势的无穷小,且(x) 0.,定义2(无穷小的阶).,例2. 当x0时,试比较下列无穷小的

4、阶:,解: (1),(2),(4),例2. 当x0时,试比较下列无穷小的阶:,解: (3),由上例中(2)(3)(4)可得,当x0时,根据高阶无穷小的定义,上式还可以表示为: 当x0时,注意: 并非每个无穷小都有阶数,比如当x0时,例3. 证明:当,时,证:,例4. 证明:,证:,目录 上页 下页 返回 结束,因此,即有等价关系:,说明: 上述证明过程也给出了等价关系:,无穷小的等价关系具有如下性质：,(1) 自反性：,则,则,(2) 对称性：若,(3) 传递性：若,证明提示:,二、 无穷小的等价代换,定理4 . 设(x)与(x), 都是自变量有相同变化趋势的无穷小,若 并且,则,并且,例5.

5、 利用无穷小等价代换定理求以下极限,解: 因为,所以,(2),解:,原式,注意: 应用无穷小等价代换定理求极限时,只能对待 求极限函数中的无穷小因子进行.若待求极限的函数 表达式中含有函数的加减法运算,则不能对其中的相 加与相减的无穷小项进行等价代换.,(3),解:,三、 无穷大量(绝对值无限趋大的变量),若在定义中改为,则记作,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,但,不是无穷大 !,例6. 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,铅直渐近线,说明:,若,则称直线,为曲线,的水平渐近线 .如下图,据此定理(1) , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理5. 在自变量的相同变化趋势下,有下述结论:,说明:,(1),有限个无穷大量的乘积是无穷大量;,(3) 无穷大量与有界量之和是无穷大量.,两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量; 无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量.,注意:,大O记号,设函数f(x)与g(x)定义在x0的某去心邻域 中,若 在x0处是局部有界的,则记作 .特别地,若 f(x)在x0处是