空间曲线及其方程

1、第六节 空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,设有两块曲面S1, S2, 它们的方程依次为:,S1: F (x, y, z) = 0 S2: G (x, y, z) = 0,S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此,即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.,(1),例1: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2的交线是一个圆, 它的一般方程是,x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2,解: 方程 表示球心在原点O, 半径为a的上半球面.,方程 表示母线平行于z 轴的圆柱面.,它的准线xOy

2、面上的圆, 圆心在点,所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数.,x = x (t) y = y (t) (2) z = z (t),当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.,例3: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程.,解: 取时间t为参数, 设

3、当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).,(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而,x = |OM | cosAOM = acos t,y = |OM | sinAOM = asin t,(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而,z = MM = vt,得螺旋线的参数方程,x = acos t y = asin t z = vt,注: 还可以用其它变量作参数.,例如: 令 = t. 为参数; 螺旋线的参数方程为:,x =

4、 acos y = asin z = b,当从 0变到 0 + 是, z由b 0变到 b 0+ b ,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.,特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b,在工程上称 h = 2 b为螺距.,三、空间曲线在坐标面上投影,设空间曲线C的一般方程,F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0,(3),由方程组(3)消去z后得方程,H (x, y) = 0 (4),方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线C 一定在曲面上.,以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xO

5、y面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线, 或简称投影.,所以方程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影.,H (x, y) = 0 z = 0,注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.,例4: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.,解: 联立两个方程消去 z ,得,这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为,解: 半球面与锥面的交线为,由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1,这是一个母线平行于z 轴的

6、圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为,x2 + y2 = 1 z = 0,这是xoy面上的一个圆.,所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1,四、二次曲面,1. 定义: 由x, y, z的二次方程:,ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0,所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, , i, j 为常数.,研究方法是采用平面截痕法.,2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆,当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;,当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.,2. 几

7、种常见二次曲面.,(1) 椭球面,1 用平面z = 0去截割, 得椭圆,3 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得椭圆:,特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原点o, 半径为a的球面.,(2) 椭圆抛物面:,1 平面 z = k ,(k 0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆.,k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.,2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线,3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.,第七节 平面及其方程,一、平面的点法式方程,1. 法向量:,若一非零向量n垂直于

8、一平面. 则称向量n为平面 的法向量.,注: 1 对平面, 法向量n不唯一;,2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.,2. 平面的点法式方程,设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=A,B, C.,得:,A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0,称方程(1) 为平面的点法式方程.,(1),例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = 1, 2, 3为法向量的平面的方程.,解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为:,1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0,即: x 2y + 3z 8 = 0,解: 先找出该平面的法向量

9、n.,= 14i + 9j k,例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.,所以, 所求平面的方程为:,14(x 2) + 9(y + 3) (z 4) = 0,即: 14x + 9y z 15 = 0,二、平面的一般方程,证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为,它表示过定点 , 且法向量为 n = A, B, C的平面.,注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2),称为平面的一般方程.,例2: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其

10、方程.,解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n =2 3, 4,2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0,即: 2x 3y + 4z 4 = 0,2. 平面方程的几种特殊情形,(1) 过原点的平面方程,由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为:,Ax + By + Cz = 0,(2) 平行于坐标轴的方程,考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = A, B, C与x 轴上的单位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以,n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0,于是:,平行于x 轴的平

11、面方程是 By + Cz + D = 0;,平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;,平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.,特别: D = 0时, 平面过坐标轴.,(3) 平行于坐标面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;,平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0;,平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.,例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.,解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0.,设所求平面的方程是 By + Cz = 0,又点(4, 3, 1)在平面上, 所以,3B C

12、 = 0,C = 3B,所求平面方程为 By 3Bz = 0,即: y 3z = 0,例4: 设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程.,解: 设所求平面的方程为,Ax + By + Cz + D = 0,因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是,aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0,解得:,所求平面的方程为:,即:,(3),三、两平面的夹角,1. 定义: 两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,若已知两平面方

13、程是:,1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,法向量 n1 = A1, B1, C1,2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,法向量 n2 = A2, B2, C2,所以,2. 平面1与2 相互垂直 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0,平面1与2 相互平行,规定: 若比例式中某个分母为0, 则相应的分子也为0.,例6: 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.,解: 设所求平面的一个法向量 n =A, B, C,已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1=1, 1, 1,于是:,A (1) + B 0 + C (2) = 0 A 1 + B 1 + C 1 = 0,解得:,B=C A= 2C,取C = 1, 得平面的一个法向量,n = 2, 1, 1,所以, 所求平面方程是,2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0,即: 2x y z = 0,例: 设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点, 求P0到这平面的距离d.,解: 在平面上任取一点P1(x1, y1, z1),P