初探中考试题中存在性探求问题的求解策略

1、初探中考试题中存在性探求问题的求解策略初探中考试题中存在性探求问题的求解策略 安徽 宣城六中李庆银TEL ：探索性问题多年来一直备受各级各类考试的青睐， 存在性探求问题是其中极其重要的一 种。这类问题常出现“ 是否存在”“是否变化” 等疑问句，以示结论有待判断，证明。由于这类 题目较好的检测学生素质和能力，近几年来， 在中考试题中，特别是压轴题中经常出现，在 竞赛中也时有出现。由于这类题型问题多样，背景丰富，没有固定的解法，解答时需要灵活 判断，综合运用基础知识，基本技能和数学思想方法。本文试通过几例，初步探讨解答此类 问题的一般策略，思路，方法。 一般回答这类问题采

2、用假设推证- 定论。 一般是从存在方面入手， 寻求结论成立条件， 若能找到这个条件， 则回答是肯定的， 若找不到这个条件或找到的这个条件与已知条件矛盾， 则问题的回答是否定的。 例题 120XX 年恩施自治州初中毕业及高中招生考试第24 题（压轴题） 24.(12分) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数y xbxc的图象与 x轴交于 A、 B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式 （2）连结PO 、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP C ，那么

3、是否存在点P， 使四边形 POP C / / 2 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的 面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最 大面积. 思路与策略： （1）二次函数表达式中有 2 个未知 字母 b 和 c，只要能找到2 点或 2 条件带入即可，由 题知将 B，C 两点坐标代入可求出。 （2）在回答是否 图 11 存在 P 点时，先假设存在，在草稿上用铅笔画出P 关于 Y 轴对称的 P ，根据菱形的性质， 对角线互相垂直平分，知道 P P / / 垂直平分 OC，从而知道 P 的纵坐标，继而求出它

4、的横坐 标。 （3）假设在抛物线上且在BC 下方的 P 点符合要求，做 PE 垂直 AB 于 E，交 BC 于 Q， 运用面积分割法，得 S 四边形ABPC S ABC S BPQ S CPQ 111 ABOC QPOE QPEB 222 根据坐标关系和图形知，QP=PEQE，令 P（x，x2 2x 3） ，Q（x，x3）.，得 QP=（x3）（x2 2x 3）=3xx2,带入即可，化简成二次函数，用配方法确定顶点 即可解决。 24、 解： （1）将 B、C 两点的坐标代入得 3bc 0 2 分 c 3 解得： 2 b 2 c 3 所以二次函数的表达式为：y x 2x 33分 （2）存在点 P

5、，使四边形 POP C 为菱形设 P 点坐标为（x，x2 2x 3） ， PP 交 CO 于 M 若四边形 POP C 是菱形，则有 PCPO 连结 PP则 PECO 于 M， OM=MC= 2 y= 3 6分 2 2 x 2x 3= 3 / / / / 3 2 解得x1= 2 102 10 ，x 2= （不合题意，舍去） 22 P 点的坐标为（ 2 10 ， 3 ）8分 2 2 2 （3） 过点 P 作y轴的平行线与 BC 交于点 Q， 与 OB 交于点 E， 设 P （x，x 2x 3） ， 易得，直线 BC 的解析式为y x 3 则 Q 点的坐标为（x，x3）. S 四边形ABPC S

6、ABC S BPQ S CPQ 111 ABOC QPOE QPEB 222 11 43(x23x)3 22 2 3 3 75 = x 10 分 228 当x 3 时，四边形 ABPC 的面积最大 2 3 2 15 ，四边形 ABPC 的 4 此时 P 点的坐标为, 面积的最大值为7512 8 例 2 20XX 年桂林市初中毕业升学考试第26 题（压轴题） 26 （本题满分 12 分）如图，过A（8，0） 、B（0，8 3）两点的直线与直线y 3x交于 点 C 平行于y轴的直线l从原点 O 出发， 以每秒 1 个单位长度的速度沿x轴向右平移， 到 C 点时停止；l分别交线段 BC、OC 于点

7、D、E，以 DE 为边向左侧作等边DEF， 设DEF 与BCO 重叠部分的面积为 S（平方单位） ，直线l的运动时间为 t（秒） （1）直接写出 C 点坐标和 t 的取值范围； （2）求 S 与 t 的函数关系式； （3）设直线l与x轴交于点 P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F 为顶点的三角形 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 y 8 3 B y l D C y 3x 8 3 B y 3x F E C O A P8x O 备用图1 A 8x (本题 12 分) 思路与策略： （1）C 是直线 AB 与 OC 的交点，根据两点 A，B 坐标求出直线 AB

8、的表达式， 后与直线 OC 表达式联立即可。或利用 tanA= tanCOA= 3,得出A=COA=600， OAC 为正三角形，易得C 的坐标。 （2）在以 DE 为边向左侧作等边 DEF时，发现 F 有 落在 Y 轴内，Y 轴外，Y 轴上可能。首先求出F 落在 Y 轴上时，由线段DE 等于 D 的纵坐标 减去 E 的纵坐标， 设它们的横坐标为 t,利用前面的知识得 D 点的坐标是 （t， 3t 8 3） ， E 的坐标是（t， 3t） DE= 3t 8 3- 3t=8 3 2 3t 在利用 300的直角三角形中，600所对的 直角边是 300所对的直角边的 3倍关系，得到它的高是（123t

9、） ，建立关系，然后分两 种情况分别计算，利用不同的图形，在备用图中运用梯形的公式不难得到。 （3）中正常情况下等腰三角形有三种可能。在用铅笔直线演绎运动时感觉有的边相等不太 可能，从长短来看容易发现 FO 11 BO=4 3，FPBO =4 3，OP4，腰只有可能是 FO， 22 FP,且 F 在 Y 轴的右侧，假设二者相等，根据对称性知 F 在 OP 的垂直平分线上， 根据等 腰三角形的三线合一的性质知等边 DEF 的 DE 边上的高为：123t，它为 OP 的一半， 建立关系，顺而解出。 解（1）C（4，4 3）2分 t的取值范围是：0t4 3分 （2）D 点的坐标是（t， 3t 8 3

10、） ，E 的坐标是（t， 3t） DE= 3t 8 3- 3t=8 3 2 3t 4 分 等边 DEF 的 DE 边上的高为：123t 当点 F 在 BO 边上时：123t=t，t=35 分 当 0t3 时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：8 3 2 3t- 2 3 t 7 分 3 S= t2 3 (8 3 2 3t 8 3 2 3t t) 23 t14 (16 3 3t) 23 7 =3t28 3t8分 3 当 3t4 时，重叠部分为等边三角形 = y 8 3 B l D C 1 S=(8 3 2 3t)(123t)9 分 2 =3 3t 24 3t 48 310分 （3）存在，P（ 2

11、 y 3x F E 24 ，0）12分 7 O 说明：FO4 3，FP4 3，OP4 以 P，O，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP, 若 FO=FP 时，t=2（12-3t） ，t= A P8x 2424 ，P（，0） 77 例 320XX20XX 年年黑龙江黑龙江鸡西市初中毕业学业考试第鸡西市初中毕业学业考试第 2828 题（压轴题）题（压轴题） 28. (本小题满分 10 分） 如 图 , 矩 形OABC在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 若OA 、 OC的 长 满 足 OA2 OC 2 3 2 0. 求 B、C 两点的坐标 . 把 ABC 沿 AC 对折 ,点 B 落在

12、点 B处,线段 AB与x 轴交于点 D,求直线 BB的解析 式 在直线 BB上是否存在点P,使 ADP 为直角三角形？若存在,请直接写出 P 点坐标；若不存在,请说明理由 . B OD C x A B y 思路与策略： （1）由非负数的性质知：OA=2，OC=2 3，易得：B（23，2） ，C（23， 0）.（2）由 tan1= 2 2 3 = 3 ，所以1=300，由翻折知，1=2=300，推出3=300， 3 要求 B的坐标， 作BE垂直Y轴于E，由AB=AB=2 3 利用 300的直角三角板形特殊关系得BE= 3，AE=3， 又 AO=2，所以 B（ 3，1） ，根据 B，B两 点坐标 确定 一次 函数 表达 式， y= 3x4 （3）假设在在直线 BB上有P点， 画出