北京市海淀区高三二模考试(数学理)

1、海淀区高三年级第二学期期末练习海淀区高三年级第二学期期末练习 数数学学 （理科） 2011.52011.5 选择题选择题（共 40 分） 一、一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 复数1在复平面上对应的点的坐标是 A(1,1)B.(1,1)C.(1,1)D.(1,1) 2. 已知全集U R,集合A1,2,3,4,5,B xR R | x 2，下图中阴影部分所表示的集合为 A1B.0,1 C.1,2D.0,1,2 3函数f (x) log2x 1 i AB 1 的零点所在区间 x 11 A(0, ) B. (,1

2、) C. (1,2) D. (2,3) 22 4.若直线l的参数方程为 A x 13t (t为参数)，则直线l倾斜角的余弦值为 y 24t 4334 B CD 5555 5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下： 甲乙 98817799 6102256799 53203023 7104 根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是 A甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 6一个锥体的主视图和左视图如图所

3、示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 7若椭圆C1： 11 1 主视图 111 1 左视图 1 1 11 1 1 A x2 2 a 1 y2 2 BC b 1 1（a 1 b 1 0）和椭圆C 2 ： x2 2 a 2 y2 2 D b 2 1（a 2 b 2 0） 的焦点相同且a 1 a 2 .给出如下四个结论： 椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点； a 1 b 1 ； a 2 b 2 2222 a 1 a 2 b 1 b 2 ；a1a2 b 1 b 2 . 其中，所有正确结论的序号是 AB. C D. 8. 在一个正方体ABCD A 1B1C1D1 中，P为正方形 边上的动点，O为底面

4、正方形ABCD的中心，M,N分别为 点，点Q为平面ABCD内一点，线段D 1Q 与OP互相平分， A 1 D 1 P B1 C 1 A 1B1C1D1 四 AB,BC 则 D O Q 中 足满 uuuu ruuuu r MQ MN的实数的值有 A. 0 个B.1 个C. 2 个D.3 个 A C N MB 非选择题非选择题（共 110 分） 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3030 分分. . y 2x, 9点P(x, y)在不等式组y x,表示的平面区域内，则 z x y的最大值为_. x 2 10运行如图所示的程序框图

5、，若输入n 4，则输出S的值为. 开始 输入n i 0,S 1 in 否 42345 11若x(1mx) a1x a2x a3x a4x a5x ， 其中a2 6，则实数m的值为 ； a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 的值为. 12如图，已知e O的弦AB交半径OC于点D，若AD 3， BD 2，且D为OC的中点，则CD的长为 . O A D C B * * * 13已知数列a n满足 a 1 t,，a n1 a n 2 0 (tN N ,nN N )，记数列a n的前 n项和的最大值为 f (t)，则f (t) . 14. 已知函数f (x) sin x x （1）判断下列三个命题的真

6、假： f (x)是偶函数；f (x) 1；当x 3 时，f (x)取得极小值. 2 其中真命题有_； （写出所有真命题的序号） （2）满足f ( nn ) f ()的正整数n的最小值为_. 666 三、解答题三、解答题: : 本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明, , 演算步骤或证明过程演算步骤或证明过程. . 15. （本小题共 13 分） 已知函数f (x) cos2x 3sinxcosx( 0)的最小正周期为. （）求f ( )的值； （）求函数f (x)的单调区间及其图象的对称轴方程. 16.（本小题共 13 分） 某商

7、场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客，假设每位乘 客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. 2 3 () 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第2 层下电梯的概率； () 用X表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望. 17.(本小题共 14 分) 如图，四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，AB / CD，AB AD，PAB和PAD是两个边长 为2的正三角形，DC 4，O为BD的中点，E为PA的中点 ()求证：PO 平面ABCD； P ()求证：OE/平面PDC； ()求直线CB与平面PDC所成角的正弦值 E AB O

8、CD 18.(本小题共 14 分） 已知函数f (x) (ax x)ln x 2 1 2ax x.(aR ). 2 （I）当a 0时，求曲线y f (x)在(e, f (e)处的切线方程（e 2.718.） ； （II）求函数f (x)的单调区间. 19(本小题共 13 分） 在平面直角坐标系xOy中，设点P(x, y),M(x,4)，以线段PM为直径的圆经过原点O. （）求动点P的轨迹W的方程； （）过点E(0,4)的直线l与轨迹W交于两点A,B，点A关于y轴的对称点为A，试判断直线AB是 否恒过一定点，并证明你的结论. 20. (本小题共 13 分） L ，a n ，若满足ai0,1(i

9、1,2,3,n)，则称数列A为“0-1 数列”.定义变对于数列A：a 1 ，a 2， 换T，T将“0-1 数列”A中原有的每个 1 都变成 0，1，原有的每个 0 都变成 1，0. 例如A:1,0,1，则 T(A):0,1,1,0,0,1.设A 0 是“0-1 数列” ，令A k T(A k1), k 1， 2，3, L . () 若数列A2：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.求数列A 1, A0 ； () 若数列A0共有 10 项，则数列A2中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； ()若A0为 0，1，记数列A k 中连续两项都是 0 的数对个数为lk，k 1,2,3,

10、.求lk关于k的表达式. 海淀区高三年级第二学期期末练习 数数学（理）学（理） 答案及评分参考答案及评分参考201120115 5 选择题选择题（共（共 4040 分）分） 一、选择题（本大题共选择题（本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分）分） 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 B 8 C 非选择题非选择题（共（共 110110 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分. . 共共 3030 分分. .有两空的题目，第一空有两空的题目，第一空 3 3 分，第二

11、空分，第二空 2 2 分）分） 9. 6 10.11 11. 31 ， 162 t 2 2t , (t为偶数) 4 12.213. 14.,9 2 (t 1) , (t为奇数) 4 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分) ) 15. （共 13 分） 解： （） f (x) 13 (1cos2x)sin2x 2 分 22 1 sin(2x), 3 分 26 2 ，解得 1, 4 分 2 因为f (x)最小正周期为,所以 所以f (x) sin(2x ) 6 1 , 5 分 2 所以f ( 2 1 ) .6 分 32 （）分别由2k 2 2x 6

12、 2k 2 ,(kZ)，2k 2 2x 6 2k 3 ,(kZ) 2 可得k 3 x k 6 ,(kZ)，k 6 x k 2 ,(kZ). 8 分 3 所以,函数f (x)的单调增区间为k ,k,(kZ)； 36 2 ,(kZ). 10 分 3 f (x)的单调减区间为k 由2x 6 ,k k 得x ,(kZ). k ,(kZ） 6226 k 所以，f (x)图象的对称轴方程为x (kZ).13 分 26 16.（共 13 分） 解：() 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第2 层下电梯的事件为A,1 分 1 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是，3 3 分 265 则P(A) 1P(

13、A) 1 6 3 81 . 分 () X的可能取值为 0,1,2,3,4, 7 分 由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 4 1 ，且每个人下电梯互不影响， 3 所以，X : B(4, ). 9 分 1 3 X P 01234 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 11 分 14 E(X) 4 .13 分 33 17.(共 14 分) （）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF AB AB AD，AB AD，AB/DC， 四边形ABFD为正方形， O为BD的中点， P E B O F A DC O为AF,BD的交点， PD PB2， PO BD，.2 分 BD PO

14、 AD2 AB2 2 2， 1 PB2BO22，AO BD 2， 2 222 在三角形PAO中，PO AO PA 4，PO AO，4 分 AOI BD O，PO 平面ABCD；5 分 ()方法 1：连接PF，O为AF的中点，E为PA中点， OE/PF， OE 平面PDC，PF 平面PDC， OE/平面PDC.9 分 方法 2： 由()知PO 平面ABCD， 又AB AD， 所以过O分别做AD,AB的平行线， 以它们做x,y轴， 以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得： P E A O A(1,1,0)，B(1,1,0)，D(1,1,0) F(1,1,0)，C(1,3,0)，P(0

15、,0,2)， 112 E(,)， 222 B y FD x C uuu ruuu ruuu ruuu r 112 )，PF (1,1, 2)，PD (1,1, 2)，PC (1,3, 2). 则OE ( , 222 uuu rr 1 uuu OE PF 2 OE / /PF OE 平面PDC，PF 平面PDC， OE/平面PDC；9 分 () 设平面PDC的法向量为n (x 1, y1,z1) ，直线CB与平面PDC所成角， r ruuur nPC 0 x 1 3y 1 2z 1 0 则ruuu，即，u r nPD 0 x1 y1 2z 1 0 解得 ry1 0 ，令z11，则平面PDC的一个

16、法向量为n ( 2,0,1)， x1 2z 1 uuu r 又CB (2,2,0) r r uuu 则sin cos n,CB 2 23 ， 332 2 3 .14 分 3 直线CB与平面PDC所成角的正弦值为 18. (共 14 分） 解： （I）当a 0时，f (x) x xlnx，f (x) lnx，2 分 所以f (e) 0，f (e) 1，4 分 所以曲线y f (x)在(e, f (e)处的切线方程为y xe.5 分 （II）函数f (x)的定义域为(0,) 1 f (x) (ax2 x)(2ax1)ln xax1 (2ax1)ln x，6 分 x 当a 0时，2ax10，在(0,

17、1)上f (x) 0，在(1,)上f (x) 0 所以f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上递减； 8 分 111 时，在(0,1)和(,)上f (x) 0，在(1,)上f (x) 0 22a2a 11 所以f (x)在(0,1)和(,)上单调递增，在(1,)上递减；10 分 2a2a 1 当a 时，在(0,)上f (x) 0且仅有f (1) 0， 2 当0 a 所以f (x)在(0,)上单调递增；12 分 111 时，在(0,)和(1,)上f (x) 0，在(,1)上f (x) 0 22a2a 11 所以f (x)在(0,)和(1,)上单调递增，在(,1)上递减14 分 2a2a 1

18、9(共 13 分） 解： （I）由题意可得OP OM，2 分 当a uuu r uuuu r 所以OPOM 0，即(x, y)(x,4) 04 分 即x 4y 0，即动点P的轨迹W的方程为x 4y5 分 （II）设直线l的方程为y kx4,A(x 1, y1),B(x2 , y 2 )，则A(x 1, y1) . 22 由 ykx 4 2x4kx 160， 6 分消整理得 y 2x4y 2 则 16k640，即|k| 2. 7 分 x 1 x 2 4k,x 1x2 16. 9 分 直线A B :yy 2 y 2 y 1(xx 2 ) x 2 x 1 y y 2 y 1(xx 2 )y 2 x

19、2 x 1 12 分 x 2 2x 1 21 y(xx 2 )x 2 2 4(x 1 x 2 )4 x 2 x 1 xx 1x2 1 2xx 2 444 xxx x y21x12 44 y 即y 2 2 x 2 x 1x4 4 所以，直线A B恒过定点(0, 4).13 分 20. (共 13 分） 解：()由变换T的定义可得A1:0,1,1,0,0,12 分 A 0 :1,0,1 4 分 () 数列A0中连续两项相等的数对至少有10 对5 分 证明：对于任意一个“0-1 数列”A0，A0中每一个 1 在A 2 中对应连续四项 1,0,0,1，在A0中每一个 0 在 A 2 中对应的连续四项为 0,1,1,0， 因此，共有 10