北京市西城区高三上学期期末考试数学文科试题含

1、高三数学（文科） 第卷第卷 （选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项 1集合A xR R |0 x 1，B xR R |(2x1)(x1) 0，则AI B （） （A）(0, ) （C）(,1)U (0, ) 2复数 1 2 （B）( ,1) 1 2 1 2 （D）(,1)U ( ,1) 1 2 5i （ ） 2i （B）12i（C）12i（D）12i（A）12i 3执行如图所示的程序框图，则输出S （） （A）2 （B）6 （C）15 （D）31 4函数f (x) （A）0 1 ln x的零点个数为（ ）

2、 x （B）1（C）2（D）3 5某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（） （A）5 3（B）2 3 （C） 5 32 3 （D） 33 uuu r uuu r 6 过点M(2,0)作圆x y 1的两条切线MA，则MAMB （）B为切点)，MB(A， 22 （A） 5 3 2 （B） 5 2 （C） 3 3 2 （D） 3 2 7设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn则“| q | （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 2”是“S 6 7S 2 ”的（） （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 8已知函数f (x)的定义域为R R若常数c 0，对xR R，有f (xc

3、) f (xc)， 则称函数f (x)具有性质P给定下列三个函数： f (x) | x|；f (x) sin x；f (x) x x 其中，具有性质P的函数的序号是（） （A）（B）（C）（D） 3 第卷第卷 （非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知向量a a (1,3)，b b (m ,2m1)若向量a a与b b共线，则实数m _ 10平行四边形ABCD中，E为CD的中点若在平行四边形ABCD内部随机取一点M， 则点M取自ABE内部的概率为_ x2y2 1的渐近线方程为_；离心率为_ 11双曲线 3645 12若函数f (x) 13已

4、知函数f (x) sin(x)，其中x 若f (x)的值域是 14 设函数f (x) x 6x5， 集合A (a,b)| f (a) f (b) 0， 且f (a) f (b) 0 在 直角坐标系aOb中，集合A所表示的区域的面积为_ 2 log 2 x, x 0, 是奇函数，则g(8) _ g(x), x 0 6 ,a当a 时，f (x)的值域是_； 32 1 ,1，则a的取值范围是_ 2 三、解答题： 本大题共 6 小题， 共 80 分解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cos2BcosB 0

5、（）求角B的值； （）若b 7，ac 5，求ABC的面积 16 （本小题满分 13 分） 为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重经统计，这批学生的体重 数据（单位：千克）全部介于45至70之间将数据分成以下5组：第 1 组45， 50)，第 2 组50， 55)，第 3 组55， 60)，第 4 组60， 65)，第 5 组65， 70，得到如图所示的频率分 布直方图现采用分层抽样的方法，从第3，4，5 组中随机抽取 6 名学生做初检 （）求每组抽取的学生人数； （）若从 6 名学生中再次随机抽取2 名学生进行复检，求这2 名学生不在同一组的概率 17 （本小题满分 14 分）

6、如图，直三棱柱ABC A 1B1C1 中，AC BC，AC BC CC1 2，M，N分别 为AC，B 1C1 的中点 （）求线段MN的长； （）求证：MN/ 平面ABB 1A1 ； （） 线段CC1上是否存在点Q， 使A 1B 平面MNQ？说明理由 18 （本小题满分 13 分） 已知函数f (x) x ，其中bR R x2b （）若x 1是f (x)的一个极值点，求b的值； （）求f (x)的单调区间 19 （本小题满分 14 分） x2y2 如图，A，B是椭圆 2 2 1(a b 0)的两个顶点| AB |5，直线AB的斜 ab 率为 1 2 （）求椭圆的方程； （） 设直线l平行于AB，

7、 与x, y轴分别交于点M,N， 与椭圆相交于C,D 证明： OCM 的面积等于ODN的面积 20.已知数列an是等差数列，数列bn是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8 （）求数列an和bn的通项公式； （）记 cn=abn，求数列cn的前 n 项和 Sn 20 （本小题满分 13 分） 如图，设A是由nn个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i, j 1,2,3,L ,n)表示位 于第i行第j列的实数，且aij1,1记S(n, n)为所有这样的数表构成的集合 对于AS(n, n)，记ri(A)为A的第i行各数之积，c j (A)为A的第j列各数之积令 l(A) r i

8、(A)c j (A) i1j1 nn （）对如下数表AS(4, 4)，求l(A)的值； （）证明：存在AS(n, n)，使得l(A) 2n4k，其中k 0,1,2,L ,n； （）给定n为奇数，对于所有的AS(n, n)，证明：l(A) 0 北京市西城区 2012 2013 学年度第一学期期末 高三数学（文科）（文科）参考答案及评分标准 2013.12013.1 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1B；2A；3C；4B；5C；6D；7A；8B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题

9、，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 91；10 513 x， ；11y 222 123；13 1 ,1，,； 144 23 注：注：1111、1313 题第一空题第一空 2 2 分，第二空分，第二空 3 3 分分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标 准给分准给分. . 15 （本小题满分 13 分） （）解：由已知得2cos BcosB1 0，2 分 即(2cos B1)(cosB1) 0 解得cosB 2 1 ，或cosB 14

10、分 2 因为0 B ，故舍去cosB 15 分 所以 B 6 分 3 222 （）解：由余弦定理得b a c 2accosB8 分 将B 2 ，b 7代入上式，整理得(ac) 3ac 7 3 因为ac 5， 所以ac 611 分 所以 ABC的面积S 16 （本小题满分 13 分） 13 3 acsin B 13 分 22 （）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3: 2:1 2 分 所以，每组抽取的人数分别为： 第3组： 321 6 3；第4组：6 2；第5组：6 1 666 所以从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生5 分 （）解：记第3组的3位同学为A 1

11、， A 2 ，A 3 ；第4组的2位同学为B 1， B 2 ；第5组的1位 同学为C6 分 则从6位同学中随机抽取 2 位同学所有可能的情形为： (A 1, A2 ),( A 1, A3 ),( A 1,B1),( A1,B2 ),( A 1,C),( A2 , A 3 ),( A 2 ,B 1),( A2 ,B 2 ),( A 2 ,C),( A 3,B1), (A 3 ,B 2 ),( A 3 ,C),(B 1,B2 ),(B 1,C),(B2 ,C)，共15种可能 10 分 其中，(A 1,B1),( A1,B2 ),( A 1,C),( A2 ,B 1),( A2 ,B 2 ),( A

12、 2 ,C),( A 3,B1),( A3,B2 ),( A 3,C), (B 1,C),(B2 ,C)这 11 种情形符合 2 名学生不在同一组的要求 12 分 故所求概率为P 17 （本小题满分 14 分） （）证明：连接CN 因为 ABC A 1B1C1 是直三棱柱， 所以 CC 1 平面ABC， 1 分 所以 AC CC 1 2 分 11 13 分 15 因为AC BC，所以AC 平面BCC1B 1 3 分 因为MC 1，CN CC 1 C 1N 5， 所以 MN 22 6 4 分 （）证明：取AB中点D，连接DM，DB 1 5 分 1 BC 2 1 在矩形B 1BCC1 中，因为 N

13、为B 1C1 中点，所以B 1N /BC ，B 1N BC 2 在ABC中，因为 M 为AC中点，所以DM /BC，DM 所以 DM / B 1N ，DM B 1N 所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以 MN /DB 1 7 分 因为MN 平面ABB 1A1 ，DB 1 平面ABB 1A1 ，8 分 所以 MN / 平面ABB 1A1 9 分 （）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A 1B 平面MNQ 11 分 证明如下：连接BC1 在正方形BB 1C1C 中易证 QN BC 1 又A 1C1 平面BB 1C1C ，所以 A 1C1 QN，从而NQ 平面A 1BC1 12

14、分 所以 A 1B QN 13 分 同理可得 A 1B MQ ，所以A 1B 平面MNQ 故线段CC1上存在点Q，使得A 1B 平面MNQ14 分 18 （本小题满分 13 分） b x2 （）解：f (x) 2 2 分 2(x b) 依题意，令f (1) 0，得b 14 分 经检验，b 1时符合题意5 分 （）解： 当b 0时，f (x) 1 x 故f (x)的单调减区间为(,0)，(0,)；无单调增区间6 分 b x2 当b 0时，f (x) 2 2(x b) 令f (x) 0，得x 1 b，x 2 b 8 分 f (x)和f (x)的情况如下： x (, b) b ( b,b) b (

15、b, ) f (x) 00 f (x) 故f (x)的单调减区间为(, b)，( b,)；单调增区间为( b, b) 11 分 当b 0时，f (x)的定义域为D xR | x b b x2 因为f (x) 2 0在D上恒成立， (x b)2 故f (x)的单调减区间为(, b)，( b, b)，( b,)；无单调增区间 13 分 19 （本小题满分 14 分） b 1 a 2 , （）解：依题意，得2 分 a2b25. 解得a 2，b 13 分 x2 y21 4 分所以 椭圆的方程为 4 x21 y21，消去y， （）证明：由于l/AB，设直线l的方程为y xm，将其代入 42 整理得2x

16、4mx4m 4 06 分 设C(x 1, y1) ，D(x2, y2) 22 16m232(m21) 0, 所以x 1 x 2 2m,8 分 2x x 2m 2. 12 证法一：记OCM的面积是S1，ODN的面积是S2 由M(2m,0)，N(0,m)， 则S1 S2 11 |2m| y 1 |m| x 2 |2y 1 | | x 2 | 10 分 22 因为 x 1 x 2 2m， 所以|2y 1 |2( 1 x 1 m)|x 1 2m| x 2 |， 13 分 2 从而S1 S214 分 证法二：记OCM的面积是S1，ODN的面积是S2 则S1 S2| MC | ND|线段CD,MN的中点重

17、合10 分 因为 x 1 x 2 2m， x 1 x 2 y y1 x x1 m，12 12m m 22222 1 故线段CD的中点为(m, m) 2 所以 因为M(2m,0)，N(0,m)， 所以 线段MN的中点坐标亦为(m, 1 m) 13 分 2 从而S1 S214 分 20 （本小题满分 13 分） （） 解：r 1(A) r3 (A) r 4 (A) 1，r 2 (A) 1；c 1(A) c2 (A) c 4 (A) 1，c 3 (A) 1， 所以l(A) r (A)c i i1j1 44 j (A) 0 3 分 （）证明： （）对数表A 0 ：aij1(i, j 1,2,3,L ,

18、n)，显然l(A 0 ) 2n 将数表A 0 中的a 11 由1变为1，得到数表A 1，显然 l(A 1) 2n4 将数表A 1中的 a 22 由1变为1，得到数表A 2 ，显然l(A 2 ) 2n8 依此类推，将数表A k1 中的akk由1变为1，得到数表A k 即数表A k 满足：a 11 a 22 L a kk 1(1 k n)，其余a ij 1 所以 r 1(A) r2 (A) L r k (A) 1，c 1(A) c2 (A) L c k (A) 1 所以 l(A k ) 2(1)k (nk) 2n4k，其中k 0,1,2,L ,n7 分 【注：数表A k 不唯一】 （）证明：用反证法 假设存在AS(n, n)，其中n为奇数，使得l(A) 0 因为ri(A)1,1，c j (A)1,1(1 i n,1 j n