北京市顺义区高三数学第二次统练试题 理

1、北京市顺义区北京市顺义区 20142014 届高三届高三 4 4 月第二次统练（二模）月第二次统练（二模） 数学（理科）试卷数学（理科）试卷 2014.4 本试卷共 4 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试 结束后将答题卡交回. 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.复数 i(1i) 等于 A.1i B. 1i C.1i D.1i 2.已知 a log23 b log 1 3 ， 2 ，c 3 1 2 ，则 A.c b a B. c

2、a b C.a b c D.a c b rr rrr a (1,1)b (1,1) 3.已知向量，若 ka b 与 a 垂直，则实数k A.1 B. 0 C.1 D.2 4.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图 是一个直径为2的圆，那么这个几何体的侧面积为 A. 8 B. 4 C. 2 D. 正视图 左视图 俯视图 5.“ 0 ”是“函数 y sin(x) 为奇函数”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6. 执行如图所示的程序框图，若输入x 2，则输出 y 的 值是 A2 B 5 C 11 D23 x2 2 y 1 2 2

3、 y 4x 的准线交于 A,B aa 0 7.已知双曲线（），与抛物线 两点，O为坐标原点，若VAOB的面积等于1，则 a 21 A 2 B 1 C2 D 2 xxx 0, f (x) x 0, 其中x表示不超过 x 的最大整数， f (x1) 8.已知函数 （如1.1 2, 3 ,）.若直线 y k(x1) 同的交点，则实数k的取值范围是 (k 0) 与函数 y f (x) 的图象恰有三个不 1 11 11 1 , ) , ) , ) A 5 4 B 4 3 C 3 2 D (0,1 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在答题卡上. (2,) 6 到极轴的

4、距离是 _. 9.在极坐标系中，点 10.已知等比数列 a n的各项均为正数，若 a 1 1 ， a 3 4 ，则 a 2 _; S n _. 此数列的其前 n 项和 11.如图， AB 是圆O的直径， AB 2 ， 圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB D D 为 的延 A OB C 长线于点C.若 DA DC ， 则 BDC _; BC _. 12.对甲、乙、丙、丁4人分配4项不同的工作 A、B、C、D，每人一项，其中甲不能承担A 项工作， 那么不同的工作分配方案有 _ 种.（用数字作答） 13.在VABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 若 a c 则 co

5、sB _; b _. 6 ， sin B3 23 ， 14.已知点 M(a,b) 在由不等式 x 0, y 0, x y 2, 确定的平面区域内， 则点 N(ab,ab) 所在的平面区域 面积是 _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分 13 分） (,0) f (x) asin xcosxcos2x 已知函数的图象过点 8 . （）求实数 a 的值； （）求函数 f (x) 的最小正周期及最大值. 16.（本小题共 13 分） 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”， 在相同的条件下，两人5 次测试的成绩（单位：分）记录

6、如下： 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （）用茎叶图表示这两组数据； （） 现要从甲乙二人中选派一名运动员参加比赛， 你认为选派谁参赛更好？说明理由 （不用计算） ； （）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于 80 分的次 数为 X ，求 X 的分布列和数学期望EX. 17. （本小题共 14 分） 如 图 ： 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 正 方 形 ， P E A BC D PA AB 2， PB PD 2 2 ，点E在PD上， 1 PE PD 3 且. （）求证：PA平面 ABCD ；

7、（）求二面角 E AC D 的余弦值； （）证明：在线段 BC 上存在点F， 使PF平面 EAC ，并求BF的长. 18. （本小题共 13 分） x2axa f (x) ex 已知函数，其 a 中为常数，a 2. （）当a 1时，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程； （）是否存在实数a,使 f (x) 的极大值为2?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 19. （本小题共 14 分） 已知椭圆 E 的两个焦点分别为 (1,0) 和 (1,0) ,离心率 （）求椭圆 E 的方程； （）设直线l : y xm（ m 0 ）与椭圆E交于 A、B 两点，线段 AB 的

8、垂直平分线交 x 轴于 e 2 2 . TAB面积的最大值. 点T，当 m 变化时,求V 20. （本小题共 13 分） 已知集合 Aa 1,a2 ,a 3,an， (0 a 1 a 2 a 3 a n ,nN,n 3) a a i ,a j a i具有性质P：对任意的i, j (1 i j n) ， j至少有一个属于A. （）分别判断集合 （）求证： M 0,2,4 ； 与 N 1,2,3是否具有性质 P ； a1 0 a 1 a 2 a 3 a n n a n 2 ； （）当 n 3,4 或 5 时集合 A中的数列 a n是否一定成等差数列?说明理由. 北京市顺义区 2014 届高三 4

9、月第二次统练（二模） 高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分 1 ,2 2 0 n 2, 9.1；10 2 1；11.30 ， 1；1218 ；13 3 ；14. 4 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15（本小题共 13 分） 解：（）由已知函数 f (x) asin xcosxcos2x a sin2xcos2x 2 3 分 a (,0)sincos 0 44Q f (x) 的图象过点 8 ， 2 ，5 分 解得a 27

10、 分 f (x) sin2xcos2x 2sin(2x) 4 9 分（）由（）得函数 T 2 2 ，11 分 最小正周期 最大值为 2 .13 分 16.（本小题共 13 分） 解：（）茎叶图乙 甲 87278 22 868 3 分 295 （） 由图可知， 乙的平均成绩大 方差小于甲的方差， 且乙的最高分 选派乙参赛更好. 6 分 于甲的平均成绩，且乙的 高于甲的最高分，因此应 （）记甲“高于 80 分”为事件 A， P(A) 2 5 222 (3, )P(x k) C 3 k( )k(1)3k 5 ， 55X:B 8 分 X 的可能取值为 0,1,2,3 . 分布列为： X P 0 1 2

11、 3 27 125 54 125 36 125 8 125 11 分 EX 6 5 13 分 P E 17（本小题共 14 分） 解 ： （ ） 证 明 ： QPA AB 2 ， PB 2 2 ， A BC D PA AB PB 222 PA AB ，同理PA AD2 分 又 ABI AD A ， PA平面ABCD .4 分 （）以 A为原点， AB, AD, AP 分别为 x, y,z 轴建立空间直角坐标系， 2 4 A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2), E(0, ) 3 3 6 分则 uuu r 平面 ACD 的法向量为 AP

12、(0,0, 2) ， r 设平面 EAC 的法向量为 n (x, y,z) 7 分 x 2r uuu r n AC 0 x y 0 y 2uuu ruuu r 2 4 r uuu r r AC (2,2,0), AE (0, ) z 1 n AE 0 ， y2z 0 ，取 3 3 ，由 Q n (2,2,1) ， 8 分 设二面角 E AC D 的平面角为 r uuu r n AP1 1 r cos r uuu |n| AP|3 ，二面角 E AC D 的余弦值为 3 .10 分 （）假设存在点F BC，使PF平面 EAC ， 令 F(2,a,0) ， (0 a 2) 12 分 uuu r u

13、uu r r PF (2,a,2) 由PF平面 EAC ， PF n 0 ，解得a 1 存在点 F(2,1,0) 为 BC 的中点，即BF 1. 14 分 18（本小题共 13 分） x2 x1 f (x) ex 解：（）a 1， f (0) 1 ，1 分 (2x1)exex(x2 x1)x2 xx(x1) f (x) 2xx f (0) 0 3 分 eeexQ ， 则曲线在 (0, f (0) 处的切线方程为 y 1.5 分 (2xa)exex(x2axa)xx(2a) f (x) 2xeex （） f(x) 0 的根为 0,2a ，6 分 Qa 2，2a 0 x2 f (x) x 0 e

14、当 a 2时， ， f (x) 在 (,) 递减，无极值；8 分 当 a 2 时，2a 0， f (x) 在 (,0),(2 a,) 递减，在 (0,2 a) 递增； a2 f (2a) (4a)e 为 f (x) 的极大值，10 分 a2a2u(a) (4 a)eu (a) (3a)e 0(a 2) 令， u(a) 在 a(,2) 上递增， u(a) u(2) 2 ， 不存在实数a ，使 f (x) 的极大值为2.13 分 19（本小题共 14 分） c2 2 ，解：（）由已知椭圆的焦点在x轴上，c 1， a a 2 ，b 1，2 分 x2 y21 椭圆E 的方程为 2 4 分 y xm 2

15、 x 2 y 1 22 （） 2 ，消去 y 得3x 4mx2m 2 0 2 Q 直线l与椭圆有两个交点， V 0 ，可得 m 3 （*）6 分 设 A(x 1, y1)， B(x 2 , y 2 ) 2 22m224m | AB |62m2x 1x2 x 1 x 2 333 ， ，弦长，8 分 AB 中点 x M( 2m m ,) 33 ， 设T(x,0)， k AB k MT m 3 1 1 2m 1 3 x ， 2 |m|mm |TM |T(,0) 3 11 分 33 ， S 12239 | AB | MT |(62m2)m22(m2)2 29922 2 Qm 3 ， m2 23 S m

16、ax 3 ，14 分 2 时， 122(62m2)2m2 22S | AB| MT |(62m )m 2992 （或： 62m22m2 2() 2232 2 2923 . 9 m2 23 Smax 3 .（用其它解法相应给分） 2 时成立， 当且仅当 20（本小题共 13 分） 20 2,42 2,40 4, 解：（）Q 00 0,22 0,44 0,集合M 具有性质P， Q33 6 A，33 0 A，集合N 不具有性质P.3 分 （）由已知 则 0 a 1 a 2 a n ，仍由 ， a n a n 2a n A 知 ， a n a n 0 A0 a 1 a 2 a n a 1 0 ；5 分

17、 0 a n a n a n a n1 a n a n2 a n a 1 Q a n a ni a n ,(i 1,2,3 n2) ， a n a ni A ， a 1 a n a n ,a 2 a n a n1,an a n a 16 分 将上述各式两边相加得 a 1 a 2 a 3 a n na n (a 1 a 2 a n ) 2(a 1 a 2 a 3 a n ) na n，即 a 1 a 2 a 3 a n a 1,a2 ,a 3 ， n a n 2 ；8 分 （）当n 3时，集合 A中的数列 由（）知 故 一定是等差数列. a 1 0 ，且 0 a 1 a 2 a 3 a 3 a 2 a 3 a 3 a 2 a 3 A a 3 a 2 A ，而这里，反之若不然 a 2 0 a 1 这与集合 A中元素互异矛盾，只能a3 a 2 a 2，即 2a 2 a 3 a 3 0 a 3 a 1 a 1,a2 ,a 3成等差数列. 9 分 当 n 4 时，集合 A中的元素a1,a2,a3,a4 不一定是等差数列. 如 A0,1,2,3， A中元素成等差数列， ， A中元素不成等差数列；11 分 又如 A0,2,3,5 当 5 时，集合 A中的元素 证明： 令 a 1,a2 ,a 3 ,a 4 ,a 5一定成等差数列 0 a 1 a 5 a